از لحاظ تاریخی اولین نظریه­ای که با بهره گرفتن از آن می­توان تابع توزیع رامحاسبه نمود توسط کریکوود ارائه شده است [۳۴]. این تئوری مشهور به تقریب برهمنهی بود:
(۳۶-۲)
علت استفاده از این تقریب وجود معادلات دقیق برای توابع توزیع n-مولکولی است برای [۳۵و ۳۶] داریم:

(۳۶-۲)
با ترکیب معادلات (۳۶٫۲) و (۳۷٫۲) معادلۀ انتگرالی YBG^[29] بدست می ­آید. و در سال ۱۹۴۲ معادلۀ مشابه­ای توسط کریکوود بدست آمد. متاسفانه هر دوی این معادلات غیر خطی می­باشند، حل آنها حتی با بهره گرفتن از روش های عددی مشکل است،. سلپیتر^[۳۰] دومین رابطه دقیق را برای توابع توزیع دوجسمی و سه جسمی بدست آورد. هرچند که این رابطه به علت نامحدود بودن جملات در عمل نمی­ توان مورد استفاده قرار گیرد.
از طریق توپولوژی نیز برای بدست آوردن معادلۀ انتگرالی برای تابع توزیع از روش تبدیل استفاده شده است. در این روش از فرض وجود رابطه­ای بین تابع رابط کلی و مستقیم استفاده می­ شود و از طریق آن معادلۀ انتگرالی پرکوش-یوییک بدست می ­آید بطوریکه معادلات و فرض­های اساسی بدست آوردن این معادله اند. توابع توزیعی که از طریق معادلات انتگرالی بدست می ­آید معمولا بسیار پیچیده­اند و به جوابهای تحلیلی نمی­انجامند. و به دلیل اینکه توابع پتانسیل نامشخص اند، برای بدست آوردن خصوصیات مایعات مخلوط نامناسب می­باشد و بهتر است که ابتدا از حالت مایعات خالص شروع کرده و آن را به حالت مخلوط تعمیم دهیم. مدلهای اختلالی و وردشی در این زمینه موفق بوده ­اند. محاسبات مربوط به مخلوط از طریق این روشها از معادلات انتگرالی ساده­تر بوده و زمان محاسبات را کاهش می­دهد.

-۴-۲ آمارهای کوانتمی از مجموعه های تقریباً کلاسیک

کاملا مشخص است که مجموعه ­ای شامل تعداد زیادی از سیستم­های مکانیکی در تعادل آماری، از نظر احتمال توزیع انرژی، دارای خصوصیات آنسامبل کانونی گیبس باشند. خصوصیات ترمودینامیکی چنین آنسامبلی با بهره گرفتن از رابطه زیر بدست می ­آید
(۳۸-۲)
جمع بر روی تمامی حالت­های انرژی قابل دسترس انجام می­گیرد. هنگامیکه معین باشد انرژی، آنتروپی و پتانسیل ترمودینامیکی آنسامبل از روابط زیر بدست می­آیند:
(۳۹-۲)
با فرض معتبر بودن قوانین فیزیک کلاسیک هستند، که در حد صفر شدن ثابت پلانک، محقق می­ شود، مجموع حالتها را به طور قابل قبولی توسط انتگرال گیری روی فضای فاز آنسامبل می­توان بدست آورد.
(۴۰-۲)
به طوری که تابع هامیلتونی کلاسیکی شامل تکانه و مختصات مکانی می­باشد، تعداد درجات آزادی سیستم است. انتگرال بر روی همه تکانه­ها و همه فضای ساختاری گرفته می­ شود. از انتگرال فاز گیبس ، انرژی، آنتروپی و پتانسیل­های ترمودینامیکی آنسامبل­های کلاسیک بجز پارامتر های جمع پذیر بدست می ­آید. برای سیستم­های مکانیک کوانتمی، ارزیابی پارامتر مشکل تر است. روش مستقیم شامل تعیین انرژی های مجاز سیستم بوسیله معادله شرودینگر با در نظر گرفتن محدودیتهای موجود بر خواص تقارنی تابع موج است. هر چند در بعضی حالات این روش به نسبت سختتر است. در اینجا این سؤال مطرح می­گردد که آیا در این روش با بهره گرفتن از انتگرال گیبس ، بدون حل دینامیکی مسئله، جمع را می­توان به انتگرال­ تبدیل کرد؟ جواب مثبت است و پایه های چنین انتقالی توسط ون نیومن فراهم شده است[۳۷]. این روش توسط بلاخ^[۳۱] [۳۸] و ویگنر^[۳۲] [۱۰] در مسائل معین مورد استفاده قرار گرفته است. انتگرال فاز بدست آمده از این روش بطور قابل ملاحظه­ای از شکل کلاسیکی آن مشکل­تر است. هرچند، برای سیستم هایی نزدیک به حالت کلاسیک است، ویگنر نشان داد که انتگرال را بر حسب توانهایی از می­توان بسط داد، بطوریکه جمله اول آن انتگرال گیبس است.
هدف ما در اینجا بدست آوردن بسطی برای برحسب توانهایی از می­باشد.، مشابه آنچه ویگنر انجام داد، با شروع کردن از معادله­ای که توسط بلاخ بدست آمد، بدست آوردن یک فرمول بازگشتی برای ضرایب در این بسط بطوری که محاسبات را ساده تر کند(نسبت به روش بکار برده شده توسط ویگنر) برای تقریب های بالاتر امکان پذیر می­باشد. بعلاوه تصحیح اعمال شده بر که به علت محدودیت های تقارنی بر روی توابع موجی که از آمار فرمی-دیراک یا بوز-انیشتین پیروی می­ کند، بدست می ­آید. این تصحیحات توسط آلنبک^[۳۳] و گراپر [۳۹] انجام گرفته اما ویگنر از آن چشم­پوشی کرده ا­ست. ما در این پژوهش این تصحیحات را اعمال نموده­ایم، و به نظر می­رسد که تمامی تصحیحات کوانتمی لازم برای یافتن یک فرمول عمومی برای انتگرال فاز گیبس اعمال شده است.

-۱-۴-۲ تبدیل مجموع حالات

آنسامبلی شامل ذره یکسان با جرم که درمیدان نیروی پایستار حرکت می­ کنند را در نظر می­گیریم. تابع پتانسیل سیستم شامل مختصه مکانی است که در فضای فاز تعریف می­شوند. معادله شرودینگر را برای چنین سیستمی به صورت زیر می­توان نوشت:
(۴۱-۲)
همان ثابت پلانک می­باشد که بر تقسیم شده­است، عملگر لاپلاسین در فضای و توسط تابع موج نرمالیزه مربوط به تراز انرژی است.
مجموع حالات را توسط یک انتگرال در فضای فاز می­توان به صورت زیر بیان کرد.
(۴۲-۲)
که عملگر توسط رابطه زیر تعریف می­­شود
(۴۳-۲)
بنابراین معادله (۴۲-۲) را توسط رابطه و این حقیقت که توابع نرمالیزه­اند و انتگرال (۴۲-۲) مشابه انتگرال فضای فاز گیبس می­باشد می­توان محاسبه کرد. خاطر نشان میکنیم که دترمینان انتقال عنصر حجم در انتگرال کلاسیکی (۴۰-۲) به ازای هر تغییر کانونی مختصات تکانه یا پیکربندی مساوی واحد است. انتقال کانونی کلاسیک نیز با مورد مشابه انتقال مکانیک کوانتمی در انتقال مجموعه توابع متعامد یکسان است. از معادله (۴۲-۲) مشاهده می­ شود که مجموع قطری عناصر ماتریسی می­باشد، که این عناصر توسط رابطه زیر تعریف می­ شود:
(۴۴-۲)
از این رو جمع عناصر قطری چنین ماتریسی تحت انتقال توابع موج ناوردا می­ماند، ممکن است نخواهیم از توابع ویژه اپراتور استفاده کنیم که بستگی به این واقعیت دارد که بخواهیم از ترکیب کانونی مناسبی از مجموعه تکانه و فضای مختصات در ارزیابی انتگرال فاز کلاسیکی گیبس بهره ببریم.
می­خواهیم جمع بر روی انرژی را در انتگرال (۴۲-۲) بوسیله انتگرال­گیری در فضای تکانه جایگزین کنیم. برای این منظور توابع ویژه عملگر انرژی جنبشی را انتخاب می­کنیم. این توابع و تراز انرژی پیوسته به سادگی به صورت زیر می ­تواند نوشته شود.
(۴۵-۲)
که بردار تکانه و بردار شعاعی ذره ام می­باشند. توابع ویژه عملگر در مختصات ذرات یا متقارن­اند یا پاد متقارن. اگر متقارن باشند بوسیله آمار بوز- انیشتین و اگر پاد متقارن باشند با بهره گرفتن از آمار فرمی- دیراک مورد مطالعه قرار می­گیرد. ترکیب های خطی مناسبی از توابع ، چه متقارن و چه پاد متقارن، که برای بسط توابع مورد استفاده قرار می­گیرند، باید ساخته شوند. ترکیب های خطی مورد نیاز را به صورت زیر می­توان نوشت.
(۴۶-۲)
مجموع را بر تابع، تقسیم کردیم تا به عملگر جایگشت اجازه دهیم ها را دوباره دربین ها در مجموع توزیع کنند. مرتبه جایگشت توسط مشخص می­ شود. زمانی که ذوج باشد عامل مساوی را دارد، و هنگامیکه فرد باشد مقدار آن خواهد بود. و سرانجام توابع در قالب جمله­های مجموعه متعامد توسط انتگرال های فوریه بسط داده می­ شود، و مجموع بر روی اندیس توسط رابطه تکامل تعریف می­ شود:
(۴۷-۲)
که تابع دلتای دیراک می­باشد، سرانجام معادله (۴۲-۲) را به شکل زیر می­توان بازنویسی کرد:
(۴۸-۲)
این انتگرال مشابه کوانتم مکانیکی انتگرال فاز گیبس است. محاسبه انتگرال فاز کوانتم مکانیکی (۴۸-۲) به تعیین توابع زیر مربوط می­ شود:
(۴۹-۲)
توجه کنید هنگامیکه به سمت صفر میل کند باید به تبدیل شود. علاوه بر این با مشتق­گیری از دو طرف رابطه (۴۹-۲) نسبت به رابطه بلاخ بدست می ­آید:
(۵۰-۲)
این معادله که ممکن است به عنوان یکی از معادلات اساسی آمار کوانتمی در نظر گرفته شود، مشابه معادله شرودینگر وابسته به زمان است، که در آن به جای از استفاده شده است. بلاخ اشاره نمود که حل این معادلات ممکن است توسط توابع انتقال کنارد^[۳۴] با جایگذاری به جای بدست بیاید، وی جواب­های دقیقی از معادله (۵۰-۲) در حالت­های خاص بدست آورده است. در اینجا ما برای بدست آوردن جواب­های تقریبی معادله (۵۰-۲) تلاش می­کنیم، که با بهره گرفتن از بسط آن بر حسب توانهای میسر است. اگرچه این روش در اصل شباهتهایی با راه حل ونتزل-بریلوئن-کرامرز^[۳۵] دارد اما در جزئیات متفاوت است. اجازه دهید فرض زیر را در نظر بگیریم:
(۵۱-۲)
که تابع هامیلتونی کلاسیکی معمولی است، است. با کمک معادله (۵۰-۲) و روابط
و
بعضی ها باید شرط زیر را ارضا کند:
(۵۲-۲)
به علت شرط مرزی در ، معادله (۵۲-۲) را می­توان به طور مناسبی به شکل یک معادله انتگرالی نوشت:
(۵۳-۲)
حل معادله (۵۳-۲) با تقریبهای متوالی به صورت زیر انجام می­پذیرد:
(۵۳-۲)
جمله عمومی را می شود توسط فرمول زیر بدست آورد: