و
(۲-۱۰۲)
که در آن
(۲-۱۰۳)
(۲-۱۰۴)
توجه کنید که سهم قطبش  در مقایسه با سهم  یا  نادیده گرفته می­ شود.
سطح مقطع دیفرانسیلی نقطه کوانتمی نیم­رسانا برای فرکانس تابش ثانویه  دارای قله‌های تکینه‌ای می‌باشد که در آن

(۲-۱۰۵)
(۲-۱۰۶)
(۲-۱۰۷)
معادلات (۲-۱۰۵) و (۲-۱۰۶) با گذارهای الکترون برای فرایندهایی که فقط شامل نوار ظرفیت یا نوار هدایت هستند همراه است، مقدار فرکانس­ها در این معادلات با گسیل فوتون بوسیله الکترون یا حفره در گذار درون زیر نوار همراه است، قاعده انتخاب برای گذارهای الکترونی  و برای گذارهای حفره  می­باشد، معادله (۲-۱۰۷) تکینگی­ها را نشان می­دهد که به  و گذار انتقالات درون نوار وابسته است.
اگر طیف چاه­سیم کوانتمی با نقطه کوانتمی را بدست آوریم و با هم مقایسه کنیم خواهیم دید که نوارها در نقطه کوانتمی گسسته­تر از چاه­سیم کوانتمی است[۲۶].
فصل سوم
بررسی سطح مقطع پراکندگی نقطه کوانتمی
۳-۱ معادله شرودینگر
برای محاسبه سطح مقطع پراکندگی نقطه کوانتمی می بایست ابتدا ویژه حالت‌ها و ویژه مقدارهای انرژی سیستم را محاسبه نماییم. بدین منظور، معادله شرودینگر وابسته به زمان برای یک ذره به جرم  که در یک نقطه کوانتمی محبوس می‌باشد را به صورت زیر می‌نویسیم :

(۳-۱)
جواب معادله شرودینگر تابع موج  خواهد بود. از آنجا که پتانسیل مستقل از زمان است، قسمت زمانی و مکانی تابع موج را با بهره گرفتن از جداسازی متغییرها از هم جدا نموده و خواهیم داشت
(۳-۲)
با جایگذاری رابطه بالا در رابطه (۳-۱) به معادله زیر می‌رسیم
(۳-۳)
اگر مقدار  را یک مقدار ثابت  فرض کنیم و آن را در رابطه (۳-۳) جایگذاری کنیم، پس از مرتب سازی به رابطه زیر می­رسیم:
(۳-۴)
که رابطه( ۳-۴) معادله مستقل از زمان شرودینگر است و ما از این به بعد با این معادله کار می­کنیم. علت اینکه این جواب­ها با حالت خاص مستقل بودن پتانسیل از زمان برای ما مورد پسندند، این است که جواب‌های حالت مانا هستند. یکی از خصوصیاتی که این جواب­ها دارند این است که با وجود اینکه خود تابع موج وابسته به زمان است، چگالی احتمال آن و در نتیجه خصوصیات فیزیکی آن مستقل از زمان است.
۳-۱-۱ معادله شرودینگر در نقطه کوانتمی
یک نقطه کوانتمی دیسک شکل را در نظر می­گیریم. الکترون در نقطه کوانتمی تحت تأثیر میدان مغناطیسی خارجی قرار گرفته است. محدودیت این سیستم پتانسیل بی­نهایت است. در اینجا فرض می­کنیم پتانسیل همان­گونه که در شکل ۳-۱ نشان داده شده است به صورت چاه پتانسیل بی­نهایت باشد. به این مفهوم که داخل نقطه کوانتمی پتانسیل صفر و خارج آن پتانسیل نامحدود باشد.

شکل ۳-۱: چاه پتانسیل بی­نهایت یک بعدی
هامیلتونی نقطه کوانتمی به صورت زیر خواهد بود:
(۳-۵)
در این رابطه  عملگر تکانه،  پتانسیل برداری میدان مغناطیسی و  پتانسیل محدودیت کوانتمی است. برای بدست آوردن ویژه مقدارها و ویژه حالت‌های سیستم، ابتدا هامیلتونی را به صورت زیر ساده‌تر می‌کنیم
(۳-۶)
در حالت کلی  با  جابه­جا نمی­ شود. در حالت خاص پیمانه کولن  با  جابه­جا شده و درنتیجه حاصل جمع  و  را به­ صورت  می­نویسیم. پتانسیل برداری را به توان دو رسانده و به شکل  درخواهد آمد. با ساده­سازی مجدد، رابطه (۳-۶) به صورت زیر درمی­آید
(۳-۷)
به علت شکل خاص نقطه کوانتمی مورد نظر، از دستگاه مختصات قطبی برای حل مسئله استفاده می­کنیم. این هامیلتونی را بر تابع موج سیستم اثر می­دهیم. معادله مستقل از زمان شرودینگر به صورت زیر خواهد بود
(۳-۸)
در مختصات قطبی عملگر  به صورت زیر نوشته می­ شود
(۳-۹)
معادله ویژه مقداری رابطه (۳-۸) را به­ صورت زیر حل می­کنیم
(۳-۱۰)
از آنجا که پتانسیل مستقل از زاویه سمتی است، تابع موج سیستم را می‌توان به­ صورت حاصل­ضرب یک تابع شعاعی و یک تابع وابسته به زاویه سمتی در نظر گرفت بنابراین، خواهیم داشت
(۳-۱۱)
رابطه (۳-۱۱) را در رابطه (۳-۱۰) جایگذاری می­کنیم و این معادله را به­ صورت زیر ساده می­کنیم
(۳-۱۲)  با ضرب رابطه بالا در  معادله شعاعی شرودینگر به صورت زیر نتیجه می­ شود
(۳-۱۳)
برای سهولت در محاسبات به­جای میدان مغناطیسی از کمیت بدون دیمانسیون  استفاده می­کنیم. در اینجا میدان مغناطیسی بر حسب تسلا خواهد بود. با حل معادله بالا قسمت شعاعی تابع موج را به­ صورت زیر به­دست می­آوریم
(۳-۱۵)
قسمت زاویه­ای تابع موج نیز به صورت  خواهد بود. برای به­دست آوردن تابع موج کل، قسمت شعاعی و قسمت زاویه­ای آن را در هم ضرب می­کنیم.
(۳-۱۶)
که در اینجا  ضریب بهنجارش تابع موج است. با اعمال شرط مرزی، یعنی صفر شدن تابع موج در مرز منطقه ویژه مقدارها و ویژه حالت­های انرژی به­دست می­آیند.

۳-۲ سطح مقطع پراکندگی رامان
سطح مقطع دیفرانسیلی پراکندگی رامان در حجم  و زاویه فضایی  برای نور فرودی با فرکانس  و نور پراکنده شده با فرکانس  داده شده[۴۴] :
(۳-۱۷) 
 ضریب شکست وابسته به فرکانس را مشخص می­ کند و  سرعت نور و  بردار قطبش تابش گسیلی ثانویه میدان و  نسبت گذار را بر طبق قاعده طلایی فرمی بیان می­ کند[۴۴]:
(۳-۱۸)