۲-۹- حالت پایه در ابررسانایی
باردین و همکاران توانستند نشان دهند نظریه ساده کوپر می تواند در مورد تعداد زیادی الکترون که با یکدیگر برهم کنش انجام می دهند اعمال شود. حالت پایه یک گاز فرمی، شامل الکترونهای بدون برهم کنشی است که درون دریای فرمی قرار دارند. از این حالت می توان برهم انگیختگی های بطور دلخواه کوچکی را بدست آورد. یک حالت برانگیخته را می توان با برداشتن یک الکترون از سطح فرمی و بالا بردن آن به بالای سطح فرمی تشکیل داد. نظریه BCS نشان می دهد که با یک برهم کنش جاذب مناسب بین الکترونها، حالت پایه جدید ابررسانا ایجاد خواهد شد که با یک انرژی متناهی E_g مشخص می شود. حالت پایه BCS در شکل (۲-۶- الف) نشان داده شده است، حالت BCS که شامل مخلوط هایی از اربیتال های تک الکترونی در بالای انرژی فرمی است در شکل (۲-۶- ب) دیده می شود.
شکل ۲-۶- الف- احتمال p برای اینکه با انرژی ε در حالت پایه گاز فرمی بدون برهم کنش اشغال شود. ب- در ناحیه ای که پهنای آن از مرتبه گاف انرژی است، حالت پایه BCS با حالت فرمی تفاوت دارد. هر دو منحنی در صفر مطلق ترسیم شده اند.

مقایسه بین شکل الف و ب نشان می دهد که انرژی جنبشی حالت BCS بالاتر از انرژی حالت فرمی است. ولی انرژی پتانسیل جاذب حالت BCS گرچه در شکل نشان داده نشده است، چنان عمل می کند که انرژی حالت BCS را نسبت به حالت فرمی پایین می آورد. به هر حال جنبه اصلی حالت BCS این است که اربیتال های یک ذره ای بصورت زوج اشغال می شوند، اگر اربیتالی با بردار موج K و اسپین رو به بالا اشغال شود، در اینصورت اربیتال با بردار موج K- و با اسپین رو به پایین نیز اشغال خواهد شد. اگر ↑ K₁ خالی باشد، در اینصورت↓ K₁- نیز خالی خواهد بود. این زوج ها همان زوج های کوپر هستند که اسپین صفر و بسیاری از صفات بوزون ها را دارا هستند.
۲-۱۰-کاربردهای ابررسانایی
اونس نه تنها کاشف ابررسانایی است، بلکه اولین فردی است که در جهت استفاده عملی از ابررساناها اقدام نمود. تلاشهای او در جهت ساخت آهن ربای الکتریکی بدلیل پایین بودن میدان مغناطیسی بحرانی ابررساناها در آن زمان ناموفق ماند. همچنین در سال ۱۹۳۰ با بهره گرفتن از ابررساناها، کلیدهایی طراحی و ساخته شد که با اعمال میدان مغناطیسی مناسب از حالت روشن به خاموش انتقال می یافتند.
پس از کشف ابررسانایی در آلیاژها و بویژه در آلیاژ Nb₃Sn در سال ۱۹۵۳، استفاده از ابررساناها چشم انداز بهتری پیدا کرد و ابررساناها با توجه به صفر بودن مقاومت الکتریکی، برای ایجاد میدان های مغناطیسی و انتقال نیرو مورد استفاده قرار گرفتند. کشف پدیده جوزفسون و تونل زنی الکترونهای عادی و ابرالکترونها، دریچه های جدیدی را در جهت استفاده هرچه بیشتر از ابررساناها بازنمود.
آهنرباهای ابررسانا از قوی‌ترین آهنرباهای الکتریکی موجود در جهان هستند. از آنها در قطارهای سریع السیر برقی و دستگاه‌های MRI و NMR و هدایت کردن ذرات در شتاب دهنده‌ها استفاده می‌شود. همچنین می‌توان به عنوان جدا کننده‌های مغناطیسی در جاهایی که ذرات مغناطیسی ضعیف خارج می‌شود مثلا در صنایع رنگ سازی استفاده شود. همچنین از ابررساناها در مدارات دیجیتالی نیز استفاده می‌شود به عنوان مثال در ایستگاه های RF و موبایل در ایستگاههای امواج ماکروویو. از ابررساناها در اتصال جوزفسون برای ساختن بلوک‌های ساختمان اسکوئید استفاده می‌شود که حساسترین اندازه‌گیر امواج مغناطیسی می‌باشد. سری دیگر دستگاه‌های جوزفسون برای ردیابی فوتون و یا به عنوان میکسر استفاده می‌شود. از مقاومت هایی که به ابررسانا تبدیل می‌شوند نیز در ساختن دماسنج و گرما سنج های حساس^[۱۲۰] ردیاب فوتونی استفاده می‌شود.
یک کاربرد آرمانی برای ابررساناها، استفاده از آن ها در انتقال قدرت به شهرهاست. اگرچه به خاطر قیمت بالا و نشدنی بودن سرد سازی مایل ها سیم ابررسانا برای رسیدن به دماهای بسیار پایین، این کار تا به حال تنها در اندازه آزمایش باقی مانده است.
محققان امیدوارند که در آینده از ابررسانا در ساختن ترانسفورماتورها، وسایل ذخیره برق، الکتروموتورها، محدود کردن جریان اتصال کوتاه، وسایل شناور مغناطیسی استفاده کنند. اما چون ابررساناها به تغییر و حرکت میدان مغناطیسی حساسند استفاده از آن‌ ها در برق جریان متناوب مثل ترانسفورماتورها بسیار سخت پیشرفت می‌کند ترجیحاً در حیطه کاری جریان مستقیم می‌باشد.
۲-۱۱- فرمالیسم نسبیتی ابررسانایی
باگالیوباف تئوری متعارف باگالیوباف – دی جنیس را برای ابررسانایی انجام داد که فرمول بندی جدیدی از تئوری BCS می باشد.این چارچوب برای تامین نسبیتی تئوری ابررسانایی مناسب می باشد.
اثرات نسبیتی می تواند اثر عمیقی برروی ابررسانایی داشته باشد. واقعیت نسبی بودن برای تعداد زیادی از پدیده های مهم در ابررساناها مناسب است. تئوری BCS ابررسانایی در فرمالیسم اصلی اش به آسانی به قلمرو نسبیتی تعمیم نمی یابد.
در سال ۱۹۹۹ کاپل^[۱۲۱] و گراس^[۱۲۲] به معرفی یک چارچوب نسبیتی برای تئوری میکروسکوپی ابررسانایی پرداختند و دو معادله نتایج آنها گردید[۷۷]. معادله دیراک – باگالیوباف – دی جنیس که معادله اساسی تئوری میکروسکوپیک ابررساناهاست، تعمیم نسبیتی معادله باگالیوباف – دی جنیس است. در این تئوری پارامتر نظم، جفت های کوپر را توصیف می کند و در واقع عملگرهای میدان را تولید می کند. ترکیب خطی از این عملگرها حالات تک تایی و سه تایی معمول را تشکیل می دهد. جزئ بنیادی در هر توصیفی از ابررسانایی پارامتر مرتبه ابررسانایی یا پارامتر نظم است. در حالت غیر نسبیتی پارامتر نظم ساختار با بررسی های تقارنی کاملا معمول بدست می آید. تئوری BCS معمول با جفت شدگی معمول میان فوتونی، تقارن s-wave را برای پارامتر مرتبه ابررسانای معمول مناسب می شمارد. یک مساله مهم در ابررسانایی، برقرار نمودن تقارت پارامتر مرتبه ابررسانایی در ابررساناهای دما بالاست. جفت شدگی های اسپین تک تایی و سه تایی متناسب با تقارن های نقطه ای پارامتر نظم ابررسانایی متناسب هستند. هامیلتونی دیراک – باگالیوباف – دی جنیس^[۱۲۳] معادلات کاملا عمومی را نتیجه می دهد اما در اکثر موارد اندر کنشی که به خاصیت ابررسانایی می انجامد، یک نوع جفت شدگی ها را برمی گزیند که آن هم متوجه یک یا تعداد کمی از پارامترهای نظم مختلف موجود در این هامیلتونی است و در اینصورت نیازی به بررسی هامیلتونی کلی نیست.
۲-۱۲- جفت شدگی های نوع s، p، d، f در ابررساناها
در ابررساناها جفت های کوپر می توانند در یک حالت اسپین کلی = ۰ S_tot ، اسپین تک تایی یا S_tot = ۱ ، اسپین سه تایی باشند. بخاطر خصوصیات پاد جابجایی الکترونها بعنوان یک فرمیون حالت اسپین تک تایی پاد متقارن با یک تابع موج اربیتالی با پاریته زوج و با اندازه حرکت زاویه ای اربیتالی L = ۰ حالت جفت شدگی s-wave و با اندازه حرکت زاویه ای اربیتالی L = ۲ حالت جفت شدگی d-wave را دارد (شکل ۲-۷). حالت اسپینی سه تایی متقارن همراه با یک تابع موج اربیتالی پاد متقارن و پاریته فرد با اندازه حرکت زاویه ای اربیتالی L = ۰ دارای جفت شدگی p-wave و با اندازه حرکت زاویه ای اربیتالی L = ۳ دارای جفت شدگی f-wave می باشد. ابررسانایی معمول بوسیله جفت های کوپر s-wave مشخص می شوند که بوسیله یک ربایش خالص از برهم کنش الکترون – فونون شکل می گیرند. این برهم کنش با بهره گرفتن از تئوری BCS شرح داده شد.
شکل ۲-۷- جفت شدگی های نوع s، p، d
۲-۱۳- ابررسانایی در گرافن
با وجود اینکه خاصیت ابررسانایی ذاتا در گرافن وجود ندارد، اما با بهره گرفتن از اثر مجاورت با یک الکترود ابررسانا، خاصیت ابررسانایی را بخود می گیرد و به این ترتیب ابررساناهای غیر معمول می توانند انواع پتانسیل های جفت شدگی را به این ماده القا نماید. اثر مجاورت عبارت است از القای خاصیت ابررسانایی به یک ماده غیر ابررسانا در موقعیت تماس دو ماده [۷۸].
اثر مجاورت^[۱۲۴] به دلیل پخش^[۱۲۵] جفت های کوپر به فلز نرمال است، این اثر همانند پیوندهای p-n در نیمه رساناها یک اثر ترمودینامیکی محسوب می شود، یکی از جدیدترین کاربردهای این اثر در ماده گرافن است.برای القای خاصیت ابررسانایی در گرافن، از الکترودهای ابررسانا استفاده کردند که از لایه هایی به ضخامت ۱۰ نانومتر از تیتانیوم و لایه آلومینیوم به ضخامت ۷۰ نانومتر تشکیل یافته بودند که برای الکترود آلومینیوم بعنوان لایه ابررسانایی که خاصیت ابررسانایی را به گرافن القا نماید، استفاده کردند.
از جدیدترین مطالعات در حوزه گرافن، ظهور انواع پتانسیل های جفت شدگی تقارنی در هامیلتونی نسبیتی ابررسانایی این ماده یعنی فرمالیسم dBG می باشد.
تونل زنی بین گرافن نرمال و گرافن ابررسانای یک اتصال NG/SG را برای اولین بار بیناکر^[۱۲۶] مورد مطالعه قرار داد[۷۹]. در اتصالات پایه گرافن، نوع جفت شدگی ابررسانای مطرح شده در اتصال مهم می باشد ساختار شش گوشی گرافن امکان القای خاصیت ابررسانایی تقارن های نوع s ، p ، d را فراهم می کند. بطوریکه دسته بندی کامل تقارن های جفت شدگی امکان پذیر در یک ساختار شش گوشی تا جفت شدگی نوع f توسط مازین ^[۱۲۷] و جانس^[۱۲۸] ارائه گردیده است[۸۰].
ابررسانایی یکی از خواص جالب گرافن است و مطالعات زیادی برروی ابررسانیی گرافن شده است. گرافن ابررسانا دارای خصوصیات متفاوتی از جمله انعکاس آندریف^[۱۲۹] ، تونل زنی، اثرجوزفسون و … می باشد و با بهره گرفتن از فرمالیسم نسبیتی ابررسانایی می توان به مطالعه این آثار در پیوندهایی با پایه گرافن پرداخت. لازمه پیوند بین نسبیت و ابررسانایی در این مسائل استفاده از معادله دیراک – باگالیوباف – دی جنیس می باشد.
در ناحیه ابررسانای پیوندهای پایه گرافن در ساختارهای مختلف معادله dBG زیر باید حل شود:
(۲-۲۳)
بطوریکه:
که توابع موج الکترون و حفره و انرژی برانگیختگی نسبت به انرژی فرمی است. پتانسیل جفت شدگی می باشد که در اثر مجاورت الکترود ابررسانا برروی لایه گرافن القا می کند که با توجه به نوع جفت شدگی زوج کوپر در ابررسانا فرم پتانسیل جفت شدگی القا شده در گرافن بصورت های متفاوت می باشد. با توجه به سه مجموعه اندیس شبه اسپین، چاهک و اسپین واقعی برای الکترونهای گرافن، ابررسانایی می تواند تقارن های متفاوتی را نسبت به فضا و زمان در این ماده داشته باشد.
در این تحقیق جفت شدگی نوع d در اتصال پایه گرافن بدون گاف انرژی و تحت کشش^[۱۳۰] مورد بررسی قرار می گیرد که در فصل های ۳ و ۴ شرح داده شده است.
تقارن جفت شدگی نوع d اکثرا توسط ابررساناهای دمای بالا ایجاد می شود و به ساختار باند و پتانسیل جفت شدن آنها بستگی دارد. برای ایجاد این نوع جفت شدگی می توان از ابررسانای YBa₂Cu₃O₇ یا V₃Si استفاده کرد.

فصل سوم: اتصالات و جریانهای جوزفسون
۳-۱- آثار جوزفسون
جلوه ای از ماهیت کوانتومی ابررسانایی، ابررسانندگی ضعیف است که آثار جوزفسون نیز خوانده می شود. این آثار در سال ۱۹۶۲ پیشگویی شده بود که خیلی زود بصورت تجربی به اثبات رسید. برایان دیوید جوزفسون^[۱۳۱] در سال ۱۹۷۳ برای تحقیقاتش درباره خصوصیات عبور ابر جریان از سد تونلی موفق به دریافت جایزه نوبل فیزیک شد و تا اواخر سال ۲۰۰۷ استاد دانشگاه کمبریج بوده است]۵۷[.
در سال ۱۹۶۲ جوزفسون در یک مقاله نظری دو اثر جالب را پیش بینی کرده بود؛ که می توان آنها را در پیوندگاههای تونلی ابر رسانشی مشاهده کرد. پیامد اصلی اثر نخست این بود که پیوندگاه تونلی (منظور تونل زنی الکترون بین دو ابررسانا که با لایه نازک عایق از هم جدا شده اند) باید بتواند یک جریان (ابررسانشی) ولتاژ صفر را برقرار کند. در آن مقاله چنین پیش بینی شده بود که مقدار بحرانی این جریان به روشی بسیار نامعمول به میدان مغناطیسی خارجی بستگی دارد. چنانچه جریان از مقدار بحرانی، که مشخصه هر پیوندگاه خاص است، تجاوز کند پیوندگاه آغاز به تولید امواج الکترومغناطیسی با بسامد بالا می کند که این اثر دوم جوزفسون است .کوتاه زمانی پس از انتشار این مقاله، هر دو اثر بطور تجربی کاملا به تایید رسید]۸۱[. افزون بر آن، به زودی معلوم شد که اثرهای جوزفسون نه تنها در پیوندگاههای تونلی، بلکه در انواع دیگر پیوندگاهها به نام اتصالهای ضعیف نیز دیده می شوند، که بخشهای کوتاهی از مدارهای ابررسانا هستند که در آنها از شارش جریان بحرانی بطور چشمگیری جلوگیری می شود]۸۲[. آثار ابررسانایی ضعیف ریشه در ماهیت کوانتومی حالت ابررسانشی دارند. اساس حالت ابررسانشی بر حالت چگالیده بوز بنا شده است. به این معنا که همه زوجهای الکترون در حالت ابررسانشی، تراز کوانتومی یکسانی را اشغال می کنند و با یک تک تابع موج مشترک توصیف می شوند و متقابلا در قید یکدیگرند، یعنی رفتاری همدوس دارند ]۸[.
جمله «ابررسانندگی ضعیف» به رفتاری اشاره دارد که در آن دو ابر رسانا با یک اتصال ضعیف به یکدیگر وصل شده اند. این اتصال را می توان با پیوند تونلی یا یک گلوگاه کوتاه در مقطع فیلمی نازک ایجاد نمود. بطورکلی، اتصال ضعیف می تواند تنها تماس ضعیفی بین دو ابر رسانا در ناحیه بسیار کوچک یا بصورتهای دیگری باشد که در آنها تماس ابررسانشی بین ابر رساناها بگونه ای ضعیف تشکیل شود.آثار جوزفسون بصورت ایستا (اثر جوزفسون dc) و ناایستا (اثر جوزفسونac) دیده شده اند]۸۱[.
در اثر dc اگر از اتصال ضعیف یا پیوندگاه جوزفسون، جریانی گذر دهیم و چنانچه این جریان به اندازه کافی کوچک باشد، جریان بدون روبروشدن با مقاومت از اتصال ضعیف می گذرد، حتی اگر ماده ی اتصال ضعیف خود ابررسانا نباشد (مثلا می تواند یک لایه عایق در پیوندگاه تونلی باشد). در اینجا مستقیما به مهمترین ویژگی ابررساناها می رسیم: یعنی رفتار همدوس الکترونهای ابرسانشی. بواسطه اتصال ضعیف الکترونهای دوناحیه ابررسانا به یک پیکره کوانتومی واحد تبدیل می شوند. با نفوذ از اتصال ضعیف به ابررسانای دوم، تابع موج الکترونها از ابررسانای اول با تابع موج الکترونهای محلی تداخل می کند. در نتیجه همه الکترونهای ابررسانشی در دو سوی اتصال ضعیف با تابع موج یکسانی توصیف می شوند. حضور اتصال ضعیف نباید توابع موج دو طرف را، در مقایسه با آنچه پیش از ایجاد اتصال بودند ، بطور چشمگیری تغییر دهد. در اثر جوزفسون ac ، اگر جریان dc را در اتصال ضعیف افزایش دهیم تا ولتاژ محدودی در دو سر پیوندگاه ظاهر شود، علاوه بر مولفه dc ولتاژ V، مولفه دیگر ac این ولتاز با بسامد زاویه ای ω نیز پدیدار می شود بطوریکه =۲eVωħ ]۸[.
برای ثبت این اثر که تابش جوزفسون خوانده می شود (یعنی، تابش الکترومغناطیسی گسیل شده از پیوندگاه جوزفسون) آی. کا. یانسون، دی. ام. سوستونف و آی. ام. دمیترنکو ^[۱۳۲]آزمایش بنیادی موفقیت آمیزی انجام داده اند]۸۱[.
۳-۲- تونل زنی و اثر جوزفسون
در یک پیوند نازک که شامل ابررسانا هست، ممکن است تونل زنی در امتداد پیوند صورت گیرد و از جریان تونلی می توان برای مطالعه خواص فیزیکی ابررسانا استفاده کرد.شکل (۳-۱) چنین پیوندی را نشان می دهد که درآن دوقطعه فلز، به ترتیب در حالتهای ابررسانایی و طبیعی، توسط فیلم عایق نازکی به ضخامت حدود Å ۵۰ به یکدیگر متصل شده اند. مادامیکه جریان الکترونها در امتداد پیوند برقرار می شود، این فیلم به عنوان یک سد پتانسیل عمل می کند. بر طبق قوانین کوانتومی الکترونها می توانند از این سد پتانسیل نازک تونل بزنند.
ب
ب
الف
الف
شکل ۳-۱- تونل زنی در پیوند ابررسانا- فلز معمولی
الف. اصل طرد از تونل زنی (پیکان خط چین) ممانعت می کند