.□
حال کاهش نیوتن در نمونه ناتباهیده (  ) را محاسبه می‌کنیم.
ب) اصطلاحاتی برای جهت نیوتن و کاهش نیوتن: اگر F ناتباهیده باشد و  آن گاه جهت نیوتنF در x منحصر به فرد است و عبارتست از:

که  به ترتیب گرادیان و هسینF نسبت به ساختار اقلیدسی روی E هستند و کاهش نیوتن به صورت زیر است:

برهان: ]۴[
۶)روش میراشده نیوتن (خاصیت ترمیمی^[۲۲]): اگر  روی Q متناهی باشد و  داده شده است. تکرار میراشده نیوتن را در نظر بگیرید:

e هر جهت نیوتنF درx است. آن‌گاه:

برهان : از (۵) داریم  در نتیجه  ، بنابراین  به بیضی واحد و باز دیکن به مرکز x تعلق دارد و در نتیجه  (با توجه به ۲) و از (۲-۴) داریم:

با توجه به تعریفρ در (۲-۵)

بنابراین:

.□
۷) وجود مینیمم مقدار-الف :
تابع F به مینیمم خودش روی Q می‌رسد اگر و تنها اگر از پایین روی Q کراندار باشد؛ اگر این رابطه برقرار باشد آن‌گاه  متناهی است و هم چنین  .
برهان: واضح است که اگرF به مینیمم خودش روی Q برسد از پایین کراندار است.
برای اثبات عکس آن، فرض کنیم F از پایین کراندار است. ثابت می‌کنیم به مینمم مقدارش روی Q می‌رسد.
که  متناهی است، در واقع اگر  وجود داشته باشد که  نامتناهی باشد آن‌گاه مشتق F در x و در جهت  غیرصفر خواهد بود. از (۳) داریم  و مشتق مرتبه دوم تحدید F بر روی این صفحه، صفر است بنابراین تحدید ، خطی است (ثابت نیست چون مشتق مرتبه اول F در هر جهت  غیرصفر است). تابع خطی و غیرثابت  از پایین بی کران است. حال اگر  مقطع عرضی^[۲۳]  باشد که توسط صفحه  ایجاد شده است،  یک نقطه ثابت و زیر فضای  مکمل  است. آن‌گاه  مجموعه محدب و باز در  است، و با توجه به (۳) ،  و از (۴) داریم: F در راستای هر تبدیل  ثابت است و این‌‌ همان اثبات رسیدنF به مینیمم خودش روی Q است و اینکه تحدیدF به  به مینیمم خودش روی  می‌رسد. این تحدید یک تابع خود هماهنگ روی  است (گزاره ۲-۱-۱) و واضح است از پایین روی  کراندار است و زیر فضای بازگشتی‌اش بدیهی است. با گذر از  به  ، می‌توان بیانیه‌ای مشابه برای تابع خود هماهنگ ناتباهیده از پایین کراندار ایجاد کرد؛ برای سادگی فرض می‌کنیمF ناتباهیده باشد.
چونF از پایین کراندارست و کمیت  صفر است؛ زیرا اگر مثبت باشد:

آن‌گاه طبق (۶) امکان گذر از هر نقطه  به نقطه ی دیگری مانند  با حداقل ثابت  که کمتر از مقدار F است را خواهیم داشت که این غیرممکن است چون فرض کردیمF از پایین کراندار است. بنابراین  در نتیجه نقطه‌ای مانند x وجود دارد که  از (۲-۴) داریم:

با توجه به (۲-۱۰):

و با ترکیب (۲-۱۱) نتیجه می‌گیریم:

(۲-۱۴)
وقتی  داریم:

و اگر  باشد آن‌گاه  . از (۲-۱۴) به دست می‌آوریم که  هر‌گاه  به مرز بیضی بسته دیکن  متعلق باشد و این در صورتی است که زیر مجموعه Q فشرده باشد (یادآور می‌شویم که فرض کردیمF ناتباهیده است) و نشان می‌دهد که مینیمم مقدارF بر بیضی )که وجود دارند( یک نقطه درونی بیضی است ؛ بنابراین (چونF محدب است) مینیمم مقدارF روی Q است پسF به مینیمم مقدارش روی Q می‌رسد .□
در ادامه، مفهوم تبدیل لژاندار را بیان می‌کنیم.
تابع محدب f روی زیر مجموعه محدب  تعریف شده است. تبدیل لژاندارf ^[۲۴] یعنی  به صورت زیر تعریف می‌شود:

دامنه  با توجه به تعریف، شامل آن y هایی است که سمت راست متناهی باشد. بنابراین  محدب و تابع  روی دامنه اش محدب است (چون f و  محدب است، تفاضل ۲ تابع محدب، محدب است و Sup یک تابع محدب نیز محدب است).
فرض کنیم  باز شد و f، بطور پیوسته  بار مشتق پذیر باشد (روی دامنه اش هسین f نامنفرد (معکوس پذیر) است) .
(۱.L): اگر  آنگاه

چون  معکوس پذیر است، با بهره گرفتن از قضیه تابع ضمنی مجموعه  (مقادیر  ) باز است؛ علاوه بر این، چون f محدب است، نگاشت:

۱-k بار به طور پیوسته مشتق پذیر است و نگاشتی یک به یک از  به  است و معکوس آن هم ۱-k بار به طور پیوسته مشتق پذیر است . (۱.L) نشان می دهد که نگاشت معکوس توسط گرادیان تابع یعنی  داده شده است. بنابراین:
(۲.L): نگاشت  نگاشتی یک به یک از  به مجموعه باز  است  و نگاشت معکوس به صورت  است.
(۳.L):  روی  بطور پیوسته K بار مشتق پذیر باشد و
(۲-۱۵)
۸- خود هماهنگی تبدیل لژاندر :
اگر هسین تابع خود هماهنگ F نامنفرد باشد ؛ آنگاه  یک مجموعه محدب و باز است و تابع  روی  خود هماهنگ است.
برهان: ابتدا ثابت می کنیم:

از (۲.L) داریم که
حال ثابت می کنیم  . فرض کنیم  آن گاه بنا به تعریف ، تابع  از بالا روی Q کراندار است، یا تابع  روی Q از پایین کراندار است. این تابع خود هماهنگ است (بنابه گزاره ۲-۱-۱- قسمت (ب)) و چون از پایین کراندار است به مینیمم مقدارش روی Q می رسد (خاصیت ۷). در مینیمم تابع (یعنی  ) داریم: