شبیه سازی مونت کارلو

روش شبیه سازی مونت کارلو نمونه و شاخه ای از ریاضیات عملی یا آزمایشی بوده که بدنبال کشف و استنتاج روابط مربوط به اعداد تصادفی می باشد. در طول دهه گذشته کاربردها و کارکردهای مربوط به روش شبیه سازی مونت کارلو رو به گسترش و فزونی بوده و دامنه گسترده ای از پزشکی و بیولوژی تا فیزیک هسته ای و تحقیق در عملیات را در برگرفته است.

یکی از مباحث کلیدی در مورد شبیه سازی مونت کارلو استفاده از تولیدکننده های اعداد تصادفی بوده است. یک تولیدکننده اعداد تصادفی وسیله ای فیزیکی و یا روشی محاسباتی است که برای تولید دنباله ای از اعداد که از الگوی خاصی تبعیت نموده ( یعنی بطور تصادفی ظاهر شده اند) به کار می رود.سیستم های رایانه ای بطور وسیعی برای تولید اعداد تصادفی مورد استفاده قرار می گیرند در حالی که تولیدکننده های خوبی نبوده اند هر چند الگوهای آنها به راحتی قابل تشخیص نبوده است. کاربرد بسیار این اعداد موجب گوناگونی و فراوانی روش های تولید این اعداد ( از لحاظ مدت زمانی که برای تولید این اعداد سپری می شود و الگوهای مورد استفاده آنها) شده است.

برای اولین بار استفاده عملی از روش شبیه سازی مونت کارلو در خلال جنگ جهانی دوم و در خصوص تحقیقاتی پیرامون نحوه عمل بمب های اتمی صورت پذیرفت و از آن تاریخ تا کنون بر گستره کارکردها و کاربردهای این روش روز به روز افزوده شده است.یکی از دلایل اصلی این افزایش، ظهور نسل های جدیدی از رایانه ها با قدرت پردازش فوق العاده بوده که توانسته اند سرعت و دقت روش شبیه سازی مونت کارلو را به مقدار قابل توجهی افزایش دهند.

روش شبیه سازی مونت کارلو راه حل هایی تقریبی با بهره گرفتن از نمونه گیری آماری و فرآیندهای تصادفی برای دامنه گسترده ای از مسائل موجود از ریاضیات و دیگر شاخه های علوم بوجود آورده است. این روش نوعی روش شبیه سازی آماری بوده که توانسته شبیه سازی مربوطه را با بهره گرفتن از دنباله هایی از اعداد تصادفی محقق نماید. روش شبیه سازی مونت کارلو در واقع مجموعه ای از روش هایی متفاوت بوده که اساسا فرایند یکسانی را طی می نمایند. این فرایند، شبیه سازی های متعددی را با بهره گرفتن از اعداد تصادفی در جهت دستیابی به جوابی تقریبی برای مسئله موردنظر ممکن می سازد. ویژگی و مشخصه اصلی روش شبیه سازی مونت کارلو این بوده است که می تواند با بهره گرفتن از تولید کننده های اعداد تصادفی و تولید اینگونه اعداد در حجم بسیار زیاد جواب هایی منطقی و درست در خصوص پدیده های فیزیکی ارائه نماید. ( معارفیان، 1389، ص16-17)

2-5-1. تاریخچه شبیه سازی مونت کارلو

مونت کارلو نام شهری در ناحیه موناکو واقع در جنوب شرقی فرانسه است که به خاطر قمارخانه هایش بسیار معروف بوده است. ظهور روش مونت کارلو اغلب به کار استنیسلو یولام ریاضی دان لهستانی برمی گردد که در طی جنگ جهانی دوم برای شرکت نومن در پروژه منهتن کار می کرد. یولام در سال 1951 میلادی به همراه ادوارد یلر، بمب هیدروژنی را طراحی نمود. وی بیشتر شهرت خود را به همین دلیل کسب کرده است. یولام در سال 1946 میلادی هنگامی که در مورد احتمال برد بازی ورق تعمق می کرد، فکر استفاده از روشی را که بعدا مونت کارلو نامیده شد را در ذهن پروراند. او بعد از تلاش فراوان برای حل این مسئله از طریق محاسبات ترکیبی، به فکر افتاد که اگر چندین دست داشت می توانست بازی را به کرات انجام دهد و فراوانی بردها را عینا ملاحظه نماید. این اندیشه او را بر آن داشت تا مسائل مربوط به انتشار نوترون و دیگر سوالات مرتبط با حوزه های ریاضیات و فیزیک را به گونه ای مورد ملاحظه قرار دهد که بر اساس توالی عملکردهای تصادفی قابل تبیین و تفسیر باشند.

امروزه از شبیه سازی مونت کارلو به عنوان روشی یاد می شود که در برگیرنده هر تکنیک نمونه برداری آماری، جهت ارائه پاسخ هایی تقریبی از مسائل کمی بوده است. این نکته را بایستی مدنظر قرار داد که یولام نمونه برداری آماری را کشف نکرده بود بلکه این کار قبلا برای حل مسائل کمی از طریق فرآیندهای فیزیکی مانند پرتاب تاس یا برداشت کارت مورد استفاده قرار گرفته بود.

در واقع کمک یولام به بسط شبیه سازی مونت کالو، تشخیص امکان استفاده از رایانه ها به منظور خودکارسازی نمونه برداری تصادفی بوده است. ادامه همکاری های او با نومن و نیکلاس متروپلیس به توسعه الگوریتم های رایانه ای و نیز بسط ابزار تبدیل مسائل غیرتصادفی به شکلی تصادفی منجر گردید که باعث تسهیل حل آنها از طریق نمونه برداری آماری شده بود. این بسط و توسعه، نمونه برداری آماری را از امری مهجور در ریاضیات به یک متدولوژی رسمی مبدل نمود که برای طیف وسیعی از مسائل متنوع قابل استفاده و بکارگیری بوده است. شرکت متروپلیس این روش و ایده جدید را شبیه سازی مونت کالو نام نهاد. در سال 1949 میلادی یولام و متروپلیس اولین مقاله خود را در زمینه روش شبیه سازی مونت کارلو در مجله انجمن آماری آمریکا به چاپ رساندند.

در حوزه علوم مالی، شبیه سازی مونت کارلو از سال 1970 برای قیمت گذاری اوراق مشتقه و برآورد نسبت های پوشش یونانی مورد استفاده قرار گرفته است. ( معارفیان، 1389 ،ص64-65)

. S. Ulam

. Nicholas Metropolis

اعدادتصادفی

تابعی مانند X از ω  با مقادیر عددی و با حوزه تعریف Ω را متغیر تصادفی می نامند که می توان این تعریف را به صورت ذیل نمایش داد:

صفت تصادفی صرفا برای یادآوری این نکته بوده است که با یک فضای نمونه ای سروکار خواهیم داشت و سعی می نماییم چیزهای معینی را توصیف نماییم که معمولا پیشامدهای تصادفی یا پدیده های شانسی نامیده می شوند. عنصر تصادفی موجود در  نقطه نمونه ای ω بوده که به تصادف برگزیده می شود، نظیر موردی که در ریختن یک تاس یا انتخاب فردی از یک جامعه پیش می آید. بعد از اینکه ω انتخاب شد،  بر طبق آن مشخص می شود و دیگر درباره آن چیزی مبهم، نامعین یا شانسی باقی نمی ماند. در این رابطه اصطلاح متغیر را نیز بایستی به مفهوم وسیع آن، به عنوان متغیر وابسته یعنی تابعی از ω تعبیر نمود. می توان گفت که نقطه نمونه ای ω در اینجا به عنوان متغیر مستقل نظیر نقشی که x در sin(x) برعهده دارد، با این تفاوت که معنی و مفهوم متغیر مستقل در نظریه احتمال متفاوت بوده است.

این نکته قابل ذکر بوده است که متغیرهای تصادفی را می توان قبل از هیچ ذکری از احتمال آنها بر یک فضای نمونه ای تعریف نمود. در واقع انها توزیع های احتمال خود را از طریق یک اندازه احتمال که بر فضای نمونه ای اعمال می شود کسب می نمایند.

از آنجا که تهیه اعداد تصادفی حقیقی بسیار دشوار بوده است، به ندرت از آنها در کاربردهای روزمره استفاده می شود. افزون بر این از آنجا که این اعداد قابل دوباره تولید شدن نبوده اند، آزمایش و اشکال زدایی برنامه های مربوطه را بسیار دشوار می سازند. از این رو در برنامه های رایانه ای از دنباله های شبه تصادفی به جای اعداد تصادفی حقیقی بهره برده می شود.

به یک مفهوم اعداد تصادفی را می توان اعدادی دلخواه و غیرقابل پیش بینی مطرح نمود. از انجایی که ما با رایانه ها کار می کنیم، اعداد تصادفی را می توان به صورت بیت ها یا دنباله ای از بیت های تصادفی تعریف کرد که با گروه بندی آنها می توان به اعدادی در محدوده دلخواه دست یافت.

در تعریف استاندارد ریاضی، رشته ای تصادفی بوده که با هیچ رشته کوتاه تر از خود قابل بیان شدن نباشد. یا به زبان ساده تر قابل فشرده سازی نباشد. توجه کنید که بر طبق تعریف پیش گفته فشرده سازی یک فرایند تصادفی ساز بوده است.

در علم آمار نیز در تعریف، بیت های تصادفی به این صورت مطرح می شود که در آنها صفرها باید به اندازه یک ها تکرار شوند. یک جفت صفر باید شانسی برابر یک صفر و نیز برابر یک جفت یک داشته باشد. در این صورت اگر نموداری از بیت های تصادفی رسم نماییم، نباید توده ها یا الگوهای مشخصی در آنها دیده شوند.

با توجه به آنکه در شبیه سازی لازم است تا تغییرات تصادفی سیستم به وسیله رایانه مدل گرد، بنابراین لازم است تا روش های تولید اعداد تصادفی مورد بررسی قرار گیرد. در این خصوص باید توجه نمود که یک عدد تصادفی یک حالت از مجموعه کلی حالت های ممکن بوده که در طی یک پیشامد تصادفی انتخاب می گردند، در حالیکه رشته اعداد تصادفی دنباله ای از اعداد تصادفی بوده که دارای دو خاصیت مهم ذیل می باشند:

• دنباله اعداد تصادفی از یک عدد تصادفی اولیه که اصطلاحا seed‌ یا هسته نامیده می شود شروع می گردد و طبق یک الگوریتم ریاضی مشخص، دیگر اعداد این دنباله تولید می گردند.
• هر عددی در دنباله اعداد تصادفی از اعداد دیگر مستقل بوده است، به عبارتی تولید شدن یک مقدار، هیچ ارتباطی به تولید شدن مقادیر دیگر نداشته است. ( معارفیان، 1389، ص55-57)

تولید کننده های اعداد تصادفی

روش شبیه سازی مونت کارلو با فرموله نمودن فرآیندی تصادفی به دنبال استفاده از تولیدکننده های اعداد تصادفی بوده که در نهایت با بهره گرفتن از آنها بتواند جواب مسئله مشخصی را بدست آورد. این روش توسط محققین متعددی مانند لوس آلاموس، متروپلیس و یولام مطرح و مورد استفاده واقع شده است. ارتقا و بهبود عملکرد رایانه ها در خصوص انجام محاسبات فراوان و تکراری موجب توجه و عنایت بیشتر به این روش شده است. به دلیل آنکه در روش شبیه سازی مونت کارلو از اعداد تصادفی استفاده می شود آشنایی با تولید کننده های متنوع اعداد تصادفی در این روش از اهمیت ویژه ای برخوردار بوده است.

در زمان های قدیم به منظور تولید اعداد تصادفی از روش های دستی مانند پرتاب سکه، پرتاب تاس و بهم زدن کارت ها استفاده می شده است. در زمان های بعدی از ابزارهای فیزیکی مانند نشانگرهای صوتی که قابلیت اتصال به رایانه را نیز دارا بودند جهت تولید اعداد تصادفی استفاده می شده است. با وجود مزیت هایی که استفاده از ابزارهای فیزیکی در زمان خویش به همراه داشتند بنا به دلایل ذیل استفاده از آنها جهت مقاصد شبیه سازی رایانه ای در طول زمان محدود و ناچیز گردید:

• روش های فیزیکی از سرعت بسیار پایینی جهت تولید اعداد تصادفی برخوردار بودند.
• اعداد تصادفی که با بهره گرفتن از این روش ها تولید می شدند از قابلیت بازتولید برخوردار نبودند.

با وجود آنکه در زمان های اخیر روش های تولید فیزیکی پیشرفته ای جهت تولید اعداد تصادفی بوجود آمده است که قابلیت تولید اعداد تصادفی را با سرعتی بسیار بالا دارا بوده اند اما ایراد مربوط به عدم بازتولید اعداد تصادفی تولیدی با بهره گرفتن از این روش ها همچنان به قوت خویش باقی مانده است.

در حال حاضر معمولا از روش ها و الگوریتم های ساده ای جهت تولید اعداد تصادفی استفاده می شود که به آسانی توسط رایانه ها قابل اجرا بوده اند. این الگوریتم های ساده علاوه برآنکه سرعت بالایی جهت تولید اعداد تصادفی دارا بوده حجم پایینی را در رایانه ها اشغال نموده و قابلیت بازتولید اعداد تصادفی تولیدی را نیز دارا بوده اند.

تولیدکننده های اعدادتصادفی مناسب و مطلوب بایستی تمامی مشخصات و ویژگی های آماری مربوط به اعداد تصادفی را دارا باشند اما با این وجود روش ها و الگوریتم هایی که برای تولید اعداد تصادفی از آنها استفاده می شود بدلیل آنکه توانایی ارضای تمامی مشخصات مربوطه را دارا نبوده اند، در بیشتر مواقع اعداد تصادفی تولیدی بوسیله این تولیدکننده ها را اعداد شبه تصادفی می نامند.

تمامی تولیدکننده های اعداد تصادفی در مورد تولید اعداد تصادفی مطلوب و مناسب برای شبیه سازی های رایانه ای بایستی از ویژگی ها و خصوصیات مشخصی برخوردار باشند که در ادامه به این مشخصه های کلیدی اشاره می نماییم:

• طول دوره: هر تولیدکننده ای برای تولید اعداد تصادفی بایستی طول دوره مشخصی داشته باشد. منظور از طول دوره، تعداد اعدادی بوده است که بازتولید می شوند یعنی پس از تولید چند عدد تصادفی دوباره چرخه اعداد تصادفی تولیدی تکرار شده و اعداد باز تولید می شوند.
• بازتولید: منظور از بازتولید آن بوده که اعداد تصادفی که تولید شده اند را می توان بار دیگر به همان صورت کنونی تولید مجدد نمود یا خیر. به بیان دیگر آیا تولیدکننده اعداد تصادفی می تواند در طی چند مرتبه تولید اعداد تصادفی با ملحوظ نمودن ورودی های یکسان خروجی های یکسانی تولید نماید یا خیر.
• سرعت: یکی دیگر از ویژگی های تولیدکننده های اعداد تصادفی سرعت تولید اعداد تصادفی بوسیله آنها بوده است. در این خصوص اینگونه مطرح می شود که به دنبال تولیدکننده هایی بوده ایم که این توانایی را دارا باشند که اعداد تصادفی را با سرعت بیشتری تولید نمایند و بدین وسیله بتوانند در زمان کوتاه تری اعداد تصادفی بیشتری تولید نمایند.
• قابلیت جابجایی: منظور از قابلیت جابجایی این بوده که تولیدکننده های اعداد تصادفی از این قابلیت برخوردار بوده باشند که بر روی انواع رایانه ها قابل اجرا بوده و قابلیت انتقال و جابجایی و اجرا را بر روی انواع سیستم های رایانه ای دارا باشند.
• تصادفی بودن: یکی دیگر از خصیصه های تولیدکننده های اعداد تصادفی قابلیت آنها در تولید اعدادی بوده که در آنها هیچ الگوی مشخصی وجود نداشته و کاملا تصادقی باشند که در این مورد ویژگی های تئوریک تولیدکننده ها و آزمایشات آماری مختلف به انجام می رسد تا میزان تصادفی بودن اعداد تولید شده توسط تولیدکننده های اعداد تصادفی مشخص گردد.

یکی از مباحث مهم و مطرح در مورد شبیه سازی مونت کارلو که به منزله هسته اصلی این روش نیز شمرده می شود، تولید اعداد تصادفی و الگوریتم های مربوط به آنها بوده است. قبل از مطرح نمودن روش های مختلف تولید اعداد تصادفی به دو نکته ذیل که در ادامه برای تولید دنباله ای از اعداد تصادفی مورد توجه بوده است اشاره می نماییم:

• هر عدد تصادفی تولیدی به صورتی پیوسته در دامنه ای بین 0 و 1 قرار گرفته است.
• اعداد تصادفی تولیدی به صورت دو به دو از هم مستقل می باشند. بنابراین پیش بینی دنباله اعداد تصادفی غیرممکن بوده است. ( معارفیان، 1389 ، ص57-59)

روش های تولید اعداد تصادفی

روش های تولید اعداد تصادفی در مجموع به دو گروه کلی قابل تقسیم بندی بوده اند که این دو گروه عمده عبارتند از: روش هایی که برای تولید اعداد تصادفی نیازمند شناسایی تابع توزیع مربوطه بوده اند و روش هایی که برای تولید اعداد تصادفی نیازی به شناسایی تابع توزیع نداشته اند. در گروه اول روش هایی مانند روش تبدیل معکوس، روش نام مستعار، روش ترکیبی و روش رد-پذیرش قابل طرح بوده است و در گروه دوم نیز روش های مبتنی بر روابط بازگشتی مطرح بوده که مهمترین آنها روش مولد متجانس خطی بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص59)

2-5-5. فرایند شبیه سازی مونت کارلو

برخی از دانشمندان علم آمار، این علم را به دو شاخه نظری و تجربی تقسیم بندی نموده اند. آمار تجربی به روش هایی اطلاق می شود که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی، خواص برآورد کننده ها مطالعه می شوند. این روش ها به شبیه سازی مونت کارلو مرسوم شده است. روش های مونت کارلو، به روش هایی اطلاق می شود که بر اساس دنباله ای از اعداد تصادفی به بررسی مسائل می پردازد. نام مونت کارلو اولین بار توسط متروپلیس به دلیل شباهت شبیه سازی آماری به بازی های شانسی و به دلیل اینکه شهر مونت کارلو مرکز ناحیه کوچک موناکو، مرکز بازی های شانسی بود، به کار گرفته شد. امروزه این روش در بسیاری از علوم مورد استفاده قرار می گیرد.

عموما شبیه سازی مونت کارلو زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که یا روش های تحلیلی در دسترس نبوده و یا به قدری پیچیده بوده اند که با بهره گرفتن از این روش می توان به راه حلی ساده تر دست یافت. بنابراین به طور کلی می توان گفت که با افزایش پیچیدگی و یا ابعاد مسائل، جذابیت استفاده از شبیه سازی مونت کارلو نیز به مقدار قابل توجهی افزایش می یابد.

ایده شبیه سازی مونت کارلو بر مبنای شبیه سازی مکرر فرایند تصادفی حاکم بر قیمت و یا بازده ابزار مالی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389، ص65-66)

2-5-6. روش های شبیه سازی مونت کارلو

روش مونت کارلو از اعداد تصادفی برای شبیه سازی پدیده ها استفاده می نماید. اعداد تصادفی اغلب بر اساس الگوریتم های خاصی تولید می شوند. البته آنچه که امروزه به عنوان اعداد تصادفی مصطلح بوده، اعداد شبه تصادفی بوده است که توسط الگوریتم های ریاضی خاصی توسط رایانه ها تولید می شوند. همه الگوریتم های موجود در این مورد نیز دقیق و مناسب نبوده اند. برای مثال یک الگوریتم ممکن است در بیشتر موارد اعداد بزرگ تولید کند یا نوعی همبستگی در دنباله اعدادش مشاهده شود. مثلا ممکن است هر پنجمین عددش بزرگ باشد.

برای تشخیص کیفیت تصادفی بودن اعداد تولید شده توسط یک الگوریتم، می توان زوج های تصادفی از این اعداد را در دستگاه محور مختصات دکارتی رسم نمود. اگر تجمع در یک قسمت از صفحه مختصات بیشتر باشد نشان دهنده کیفیت پایین این اعداد بوده است. اگر اعداد تولید شده تقریبا همان خواص اعداد تصادفی را دارا باشند در عمل عنوان تصادفی به آنها اطلاق می شود.

تنها یک روش مونت کارلو وجود نداشته است، بلکه این واژه به گستره وسیعی از روش هایی اطلاق می گردد که از الگوی مشخصی همانند الگوی ذیل تبعیت می نمایند:

• محدوده ای از ورودی های ممکن را تعریف نمایند.
• از محدوده موردنظر ورودی های تصادفی تولید نمایند.
• با بهره گرفتن از ورودی های بدست آمده یک سری محاسبات مشخص را انجام می دهند.
• نتایج هر یک از اجراهای محاسباتی را در پاسخ نهایی ادغام می نمایند.

روش شبیه سازی مونت کارلو را تقریبا می توان برای حل مسائلی با هر درجه ای از پیچیدگی مورد استفاده قرار داد. همچنین به راحتی می توان عواملی همانند وابستگی مسیر، دنباله های ضخیم، غیرخطی بودن و غیره را که دیگر رویکردهای موجود در مواجهه با آنها با مشکل مواجه بوده اند را نیز به راحتی با شبیه سازی مونت کارلو اداره نمود. رویکردهای شبیه سازی در عمل برای حل مسائل چند بعدی نیز مفید بوده اند. این مسائل شامل موقعیت هایی بوده که نتایج آنها به بیش از یک عامل ریسک بستگی داشته اند.

روش های شبیه سازی مونت کارلو تنها می توانند جواب هایی تقریبی در مورد مسائل گوناگون ارائه نمایند. بنابراین همواره مقداری خطا در جواب های حاصله از انها وجود دارد. تلاش در جهت حداقل نمودن میزان خطای پیش گفته موجب بوجود آمدن روش های شبیه سازی مونت کارلوی متنوعی شده است بنابراین بسته به روش های متفاوت مونت کارلو میزان خطا و دقت جواب آنها نیز متفاوت بوده است. ماهیت و نوع مسئله و میزان دقت مورد نیاز عوامل کلیدی جهت انتخاب روش شبیه سازی مونت کارلوی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص 66-68)

. Inverse-Transform Method

. Alias Method

. Composition Method

. Acceptance-Rejection Method

کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو

مسائلی که با بهره گرفتن از روش های متنوع شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند را می توان به دو گروه کلی مسائل قطعی و مسائل احتمالی تقسیم بندی نمود که رویه ها و فرآیندهای مربوط به هر دو گروه بطور مستقیم با فرآیندهای تصادفی در ارتباط بوده اند. در این گونه از مسائل یکی از ساده ترین راه حل ها، استفاده از رویه های مربوط به شبیه سازی مونت کارلو بوده که در آنها در گام اول اعداد تصادفی موجود را مشاهده نموده و سپس در گام بعد به دنبال روشی جهت شبیه سازی مستقیم فرآیندهای تصادفی مربوط به مسئله اولیه بوده ایم و در ادامه راه حلی منطقی و مطلوب از شبیه سازی اعداد تصادفی استنتاج می نماییم.

مطالعه در مورد میزان رشد جمعیت حشرات با در نظر گرفتن فرضیات آماری مشخص در مورد زنده ماندن آنها و مطالعات مربوط به طراحی راکتورهای هسته ای نمونه هایی از مسائل احتمالی بوده که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند. این مسائل و مسائلی مانند آنها، مسائلی بوده اند که تا قبل از پیدایش روش های مونت کارلو  روش های قابل قبولی جهت حل آنها وجود نداشته است، اما با پیدایش و استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو این گونه مسائل نیز قابل حل گشته اند.

از سوی دیگر یکی از مهمترین نقاط قوت ریاضیات تئوری، که در آن به دنبال نتیجه گیری و کشف ارتباطات از طریق قیاس های منطقی بوده ایم در مقابل ریاضیات کاربردی و عملی که در آن نتیجه گیری و کشف روابط از طریق مشاهدات متنوع و گسترده حاصل می شود، جامعیت آن بوده است بدین معنی که مسائل مربوط به این شاخه از ریاضیات را می توان با بهره گرفتن از علائم و روابط کلی مطرح و حل نمود. البته مزیت پیش گفته ممکن است این عیب را نیز به همراه داشته باشد که رابطه نهایی تولید شده در مورد این مسائل ممکن است آن چنان پیچیده و مشکل شده باشد که دیگر قابل حل حتی از طریق روش های عددی نیز نباشند.

ایده اصلی مربوط به مسائل قطعی که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند نیز مربوط به این گروه از مسائل ریاضی و جهت رفع عیب گفته شده در خصوص این مسائل بوده است. روش های شبیه سازی مونت کارلو با بهره گرفتن از فرآیندهای تصادفی سعی می نمایند جواب هایی قابل قبول برای مسائل قطعی که در ریاضیات تئوری قابل مشاهده بوده است ارائه نمایند و به این ترتیب راه حلی عددی برای این گونه مسائل عرضه نمایند. برای مثال مسئله ای در تئوری الکترومغناطیسی که نیازمند حل با بهره گرفتن از رابطه لاپلاس و با شرایط مرزی مشخصی بوده است نمونه ای از گونه مسائل پیش گفته بوده است که می توان آن را با بهره گرفتن از روش شبیه سازی مونت کارلو حل نمود.

کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما در حالت کلی می توان تمامی آنها را در قالب دو گروه مسائل ریاضی ذیل مطرح نمود:

1. مسائلی که نیازمند حل مشتقات جزئی بوده است.
2. مسائلی که نیازمند حل انتگرال بوده است.

گرچه گستره کاربرد روش های شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما با این وجود دو گروه مسائل مطرح شده فوق عمده ترین مسائلی بوده اند که با بهره گرفتن از شبیه سازی مونت کارلو می توانیم آنها را حل نمائیم.

بر اساس قانون قوی اعداد بزرگ که در سال 1971 میلادی توسط  فلر مطرح شده است، اگر مقدار N یعنی تعداد اعداد تصادفی انتخاب شده یا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش شبیه سازی مونت کارلو به سمت بی نهایت میل نماید میزان خطای این روش نیز به سمت صفر میل نموده و در این حالت مقدار دقت جواب حاصله از این روش حداکثر بوده است.

دقت روش های شبیه سازی مونت کارلو  به صورت نسبتی از  مطرح بوده است که در آن مقدار N بیانگر تعداد نقاط تصادفی بوده است. این رابطه نشان می دهد که جهت دستیابی به دقت مورد نیاز بایستی تعداد نقاط تصادفی و به بیانی دیگر تعداد تکرارهای مربوط به شبیه سازی را افزایش داد و هر چقدر این مقادیر را افزایش داد دقت جواب مسئله نیز بیشتر و خطای مربوط به آن کمتر خواهد شد. روش های متعددی مطرح شده اند تا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش های مونت کالو را کاهش داده و در عین حال دقت مورد نیاز را نیز بدست آورند که دو نمونه از روش های مطرح در این خصوص استفاده از روش های کاهش واریانس و استفاده از دنباله های کم پراکنده بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص71-73)