.

.

I

.

.

.

.

.

.

I

جمع

.

.

.

.

.

.

—

میانگین

آنالیز واریانس یک طرفه^[۲۴]
در آنالیز واریانس یک طرفه، چندین گروه داریم که می خواهیم برای این گروه ها، برابری میانگین‌ها را کنترل نماییم. برای به کار بردن روش‌های استاندارد، باید فرض نمود که هر گروه دارای توزیع نرمال بوده و واریانس جامعه () بین گروه ها ثابت است.روش آنالیز واریانس بر اساس این فرض است که هر گروه Jاز مشاهدات، یک نمونه ی تصادفی از جامعه‌ی نرمال است. اما در واقع، ممکن است آنالیز واریانس برای دسته ای از آزمایش‌ها انجام شود که چنین فرضی در آن صادق نباشد.

برای محاسبه ی واریانس جامعه‌ی آماری دو راه وجود دارد: ۱- تخمین واریانس آمیخته^[۲۵] (استفاده از تست تی – استیودنت ۲- محاسبه‌ی واریانس میانگین گروه‌ها (سطرها یا ستون‌ها) حول میانگین بزرگ (میانگین کل جامعه)^[۲۶]
در روش اول (تخمین واریانس آمیخته)، واریانس را برای هر گروه () محاسبه می کنیم (واریانس پاسخ ها برای هر گروه)، سپس به این تخمین ها به واسطه ی در جه ی آزادی شان (تعداد سطوح منهای یک یا تعداد سطرها منهای یک) وزن می دهیم.
(ب-۲)
واریانس آمیخته () بصورت زیر تخمین زده می‌شود[۴۱].
(ب- )
از دو رابطه فوق می‌توان رابطه‌ی زیر را نتیجه گرفت:
(ب- ۴)
در این رابطه، عبارت ، مجموع مربعات گروه ها یا مجموع مربعات خطا است. اگر بر درجات آزادی تقسیم گردد، حاصل، میانگین مجموع مربعات خطا است که بصورت بیان می شود.
واریانس میانگین گروه‌ها
روش دوم برای تخمین واریانس جامعه () محاسبه‌ی واریانس نمونه برای میانگین گروه‌ها حول میانگین بزرگ (میانگین کلی جامعه) با بهره گرفتن از رابطه‌ی زیر است:
(ب- ۵)
اگر میانگین گروه‌های جامعه همگی برابر باشند، آنگاه یک تخمین بی شرط^[۲۷] برای واریانس میانگین جامعه () است. از طرفی می دانیم ، که با ترکیب این عبارت با عبارت واریانس میانگین گروه‌های جامعه، به دومین تخمینگر برای واریانس جامعه دست می یابیم:
(ب- ۶)
مقادیر و ، به ترتیب مجموع مربعات بین گروهی و مجموع مربعات میانگین برای بین گروه‌ها هستند. تخمینگر زمانی یک تخمینگر بی شرط برای واریانس جامعه ) است که میانگین گروه‌های جامعه برابر باشند. اگر میانگین‌های جامعه () برابر نباشند، آنگاه تخمینگر ، یک برآورد بیشتر ازواریانس جامعه () می نماید. یعنی .
واریانس کلی به دو جزء قابل تفکیک است، یکی جزء که منعکس کننده‌ی واریانس میان گروه ها است و دیگری که منعکس کننده‌ی خطاهای آزمایشگاهی یا تغییر ات نمونه‌برداری است. اگر میانگین‌های برابر باشند آنگاه و مستقل هستند. اگر متغیر تصادفی بصورت زیر تعریف شود:
(ب- ۷)
پس بطور کلی همواره تخمینگری از است در حالیکه تنها زمانی تخمینگر است که فرض برابر بودن میانگین گروه‌ها درست باشد.
آنگاه این متغیر دارای توزیع F با درجات آزادی J-1 و J(I-1)خواهد بود. معادله‌ی اخیر، اساس آنالیز واریانس است. از این طریق دو واریانس برای تحقیق برابر بودن میانگین ها مقایسه می‌شوند. که اگر فرض برابر بودن میانگین گروه‌ها صحیح باشد، آنگاه مقدار F به عدد ۱ نزدیک خواهد بود و اگر این فرض درست نباشد، مقدار بیش از خواهد بود که منجر به این خواهد شد که F بیش از ۱ شود که به منزله‌ی معنادار بودن اختلاف میانگین‌ها (تاثیر فاکتور روی پاسخ آزمایش) است.یعنی:
که