اثبات‎های رسمی [۶۱-۶۳] نشان داده که هر ذره به نقطه‌ای که برابر میانگین وزنی مؤلفه ادراکی خودش و مؤلفه اجتماعی است همگرا می‌شود. سکرِست و همکاران [۶۴] یک توزیع نرمال از بهترین خاطره شخصی و بهترین خاطره جمعی پیشنهاد کردند که جایگزین معادله به روز رسانی سرعت در PSO معمولی می‌شود. میانگین و انحراف میان بهترین خاطره شخصی و بهترین خاطره جمعی محاسبه می‌شود.
(۲-۲۰)
سپس سرعت به صورت تصادفی تغییر می‌کند:
(۲-۲۱)

۲-۵-۳-۲- مدل پیوندی^[۵۳] بهینه‌سازی ازدحام ذرات

در این بخش برخی الگوریتم‌های PSO که از یک مفهوم یا تعداد بیشتری از مفاهیم محاسبات تکاملی استفاده می‌کنند و همچنین ترکیب سایر الگوریتم‌ها با PSO که برای جستجوی بهتر ترکیب می‌شوند مورد بررسی قرار می‌گیرند.

این نگرش بیان می‌کند که با اضافه کردن یک یا چند مفهوم که می‌تواند از الگوریتم‌های تکاملی دیگر گرفته شده باشد کارایی PSO برای محدوده مشخصی از مسائل بهبود می‌یابد. رایج‌ترین این نوع ترکیب‌ها اضافه کردن یکی از عملگرهای GA به PSO می‌باشد. در PSO بر مبنای انتخاب^[۵۴] ابتدا ذرات بر حسب میزان کارایی مرتب می‌شوند، سپس بدون اینکه موقعیت بهترین خاطره شخصی ذرات تغییر کند نیمی پایین جمعیت با نیمه بالا جایگزین می‌شود [۶۵].
از معایب مهم این نگرش می‌توان به کاهش تنوع ذرات جمعیت اشاره کرد. از آنجایی که نیمی از جمعیت توسط نیمی دیگر جایگزین می‌شوند تنوع در هر تکرار ۵۰% کاهش می‌یابد. تنوع ذرات را می‌توان به وسیله جا به جا کردن ذرات با کارایی پایین‌تر با جهش یافته بهترین ذرات افزایش داد. همچنین می‌توان با در نظر گرفتن اینکه جا بجایی تنها در صوتی رخ دهد که ذره جدید کارایی بهتری نسبت به ذره‌ای که حذف می‌شود داشته باشد کارایی را بهبود داد. این نگرش توسط Koay و Srinivasan دنبال شد که در آن هر ذره فرزندانی را از طریق جهش^[۵۵] تولید می‌کند [۶۶]. این روش از تطبیق جانوران تک سلولی با محیط پیرامونش استفاده می‌کند. مثلاً وقتی منابع غذایی کافی موجود باشد یک بازخورد مثبت از محیط دریافت کرده و تکثیر فرزندان را افزایش می‌دهد. در مقابل اگر منابع غذایی کمیاب باشند تکثیر آن کاهش می‌یابد. در روش پیشنهادی نیز هنگامی که ذره خود را نقطه بهینه بالقوه می‌بیند تعداد ذرات در اطراف آن زیاد می‌شود. Koay و Srinivasan تکثیر را تنها از بهترین ذره سراسری انجام دادند تا پیچیدگی محاسباتی فرایند تولید مثل را کاهش دهند. انجام عمل تکثیر تنها بر روی بهترین ذره سراسری؛ می‌تواند از این واقعیت که بهترین ذره سراسری اولین ذره‌ای است که خود را به عنوان یک بهینه بالقوه پیدا می‌کند. Lovberg و سایرین [۶۷] از یک عملگر برش^[۵۶] برای تولید نسل بر روی دو ذره که به صورت تصادفی انتخاب می‌شوند استفاده کردند. این امکان وجود دارد که یک ذره یک بار یا بیش از یک بار در هر تکرار توسط عملگر برش انتخاب شود. این امر که انتخاب تصادفی ذرات به عنوان والدین بر مبنای میزان کیفیت آن ذرات نباشد، باعث جلوگیری از تسلط بهترین ذرات بر فرایند تولید مثل می‌شود. اگر به بهترین ذرات اجازه مسلط شدن داده شود، تنوع در جمعیت کاهش یافته و باعث همگرایی زودرس می‌شود. یکی از معایب این روش این بوده که ذرات با اولاد خود جا‌به‌جا می‌شوند حتی اگر اولاد به مراتب دارای کیفیت بدتری باشند.
تکامل تفاضلی (DE^[57]) از نوعی برش که بر روی سه والد که به صورت تصادفی انتخاب می‌شوند استفاده می‌کند. اگر x₁(t) ≠ x₂(t) ≠ x₃(t) سه والد تصادفی باشند که از میان جمعیت انتخاب شدند. آنگاه موقعیت هر ذره i به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(۲-۲۲)
x’_ij(t+1) =
x_1j(t) + β ( x_2j(t) - x_3j(t) ) if U(0,1) < P_c
x_ij(t) otherwise
که در آن احتمال برش و > 0β فاکتور مقیاس گذاری نامیده می‌شود. موقعیت ذره تنها در صورتی تغییر می‌کند که کیفیت اولاد بهتر باشد. یعنی:
(۲-۲۳)
x_i (t+1) =
x’_ij(t+1) if f( x’_ij(t+1) ) < f( x_i(t) )
x_i(t) otherwise
Hendtlass از فرایند DE در PSO استفاده نمود به این صورت که هر چند وقت یک‌بار عملگر برش DE در الگوریتم اجرا شود [۶۸]. یعنی در فواصل زمانی مشخصی ازدحام ذرات به عنوان جمعیت برای DE عمل می‌کنند و الگوریتم DE برای چند تکرار اجرا می‌شود [۶۹]. الرشیدی^[۵۸] و همکاران [۷۰] DE را بر روی هر یک از ذرات به اندازه چند تکرار بکار بردند، و سپس ذره را با بهترین موردی که از فرایند DE بدست آمد جا‌به‌جا کردند. ژانگ^[۵۹] و زی^[۶۰] [۷۱] یک نگرش نسبتاً متفاوتی را دنبال کردند که تنها بهترین موقعیت‌های شخصی به وسیله معادله (۳-۱۵) تغییر می‌کنند.
(۲-۲۴)
y’_ij(t+1) =
y_ij(t) + δ_j if U(0,1) < P_c
y_ij(t) otherwise
که در آن δ_j بردار تفاوت عمومی که به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۲-۲۵)
در معادله بالا y_1j(t) و y_2j(t) بهترین خاطرات شخصی هستند که به صورت تصادفی انتخاب شدند. در نهایت مانند معادله (۲-۲۳) y_ij(t+1) تنها در صورتی برابر با y’_ij(t+1) که بهترین موقعیت شخصی جدید از نظر ارزیابی کیفیت بهتر باشد.
چندرمولی^[۶۱] و همکاران [۷۲] یک مدل‌سازی آشفته^[۶۲] از PSO برای کاربرد در دسته‌بندی ارائه کردند. گائو^[۶۳] و همکاران [۷۳] برای آموزش شبکه عصبی با PSO مشاهده شد که ذرات به طور بالقوه دارای ویژگی خطرناک ایستایی هستند. یک PSO پیوندی با SA که جستجوی آشفته در خود داشت برای حل مشکل ذراتی که دچار افت حرکت می‌شوند بکار رفت.

۲-۵-۳-۳- بهینه‌سازی ازدحام ذرات چند جمعیتی

روش‌های بهینه‌سازی ازدحام ذرات چند جمعیتی، جمعیت اصلی را به زیرگروه‌هایی که هر یک وظیفه متفاوتی را برآورده می‌کند (رفتار متفاوتی را به نمایش می‌گذارد) تقسیم می‌کند. رفتار هر گروه یا وظیفه‌ای که بر عهده آن هست معمولاً در طول زمان در پاسخ به تعامل گروه با محیط تغییر می‌کند. همچنین ممکن است ذرات در میان گروه‌ها جابه‌جا شوند.
زاد و ولد میان زیرگروه‌ها به همکاری در PSO شکل می‌دهد [۶۷]. Al-Kazemi و Mohan جمعیت اصلی را به دقیقاً دو بخش برابر تقسیم کردند. ذرات به طور تصادفی به هر یک از زیر گروه‌ها اختصاص داده می‌شود و هر یک از زیر گروه‌ها در یکی از فازهای زیر هستند:
فاز جذب: ذرات زیر گروه مربوطه اجازه دارند که به سمت بهترین موقعیت جمعی حرکت کنند.
فاز دفع: ذرات زیر گروه مربوطه از بهترین موقعیت جمعی دور می‌شوند.
برای این بهینه‌سازی ازدحام ذرات چند فازی (MPPSO^[64])معادله به روز رسانی سرعت به این صورت تعریف می‌شود [۷۴, ۷۵]:
(۲-۲۶)
بهترین خاطره شخصی از معادله به روز رسانی سرعت خارج شده و از آنجا که یک نگرش مبتنی بر رویه‌ی تپه نوردی^[۶۵] دنبال می‌شود موقعیت ذره فقط هنگامی که با بهبود کارایی همراه شود به روز می‌شود. فرض می‌کنیم سه‌تایی  بیانگر مقادیر وزن اینرسی، ضرایب شتاب باشد. ذراتی که در فاز اول هستند و به سمت بهترین موقعیت جمعی جذب می‌شوند، دارای  هستند. ذراتی که در فاز دوم هستند با مقادیر  مجبور به دور شدن از بهترین موقعیت جمعی می‌شوند.
Krink و Lovberg [31] از مدل دوره حیات برای تغییر رفتار ذرات استفاده کردند. با بهره گرفتن از این مدل هر فرد در جمعیت می‌تواند در یکی از مراحل: یک ذره PSO، یک ژن GA و یا یک تپه نورد احتمالی باشد. مدل دوره حیات استفاده شده بر اساس شباهت با فرایند بیولوژیک است که در آن هر ذره طی مراحل مختلف از تولد تا بلوغ و باز تولید پیش می‌رود. عوامل محیطی معمولاً سبب گذر میان مراحل چرخه حیات می‌شوند.
برای LCPSO^[66] تصمیم در مورد تغییر از یک مرحله به مرحله دیگر به موفقیت ذره در جستجوی دورنمای برازندگی^[۶۷] بستگی دارد. در مدل اصلی تمام ذرات کار خود را به عنوان ذره PSO شروع می‌کنند و رفتاری که به وسیله معادله سرعت و مکان به آن‌ ها دیکته می‌شود را به نمایش می‌گذارند. در مرحله دوم چرخه حیات ذره را به یک ژن GA تبدیل می‌کند که در آن رفتار آن توسط فرایند‌های انتخاب طبیعی، جهش و باز تولید به بقا ادامه می‌دهد. در مرحله آخر هر فرد از جمعیت به تنهایی به یک تپه نورد احتمالی تبدیل می‌شود. یک فرد جمعیت از یک مرحله به مرحله بعدی تغییر مکان می‌دهد اگر کیفیت آن برای چند دور متوالی بهبود نیابد. بنابراین جمعیت اصلی ممکن است در یک لحظه شامل افرادی با رفتار متفاوت باشد.
با اینکه پیاده سازی اصلی تمام افراد جمعیت را به عنوان ذرات PSO مقدار دهی اولیه می‌کرد، می‌توان جمعیت اولیه را به هر یک از دو رفتار دیگر نیز به عنوان گام نخست مقدار دهی کرد. استدلال اینکه الگوریتم با ذرات PSO مقدار دهی اولیه شده می‌تواند این باشد که مشاهدات نشان می‌دهد PSO نسبت به GA سریع‌تر همگرا می‌شود. همین طور استفاده از تپه نورد در گام آخر نیز این مفهوم را می‌رساند که استخراج و بهره‌کشی بیشتر بهتر است در مراحل پایانی فرایند جستجو مورد تاکید واقع شود. ضمن اینکه در مراحل اولیه PSO و GA بهتر است بر روی جستجو و اکتشاف تمرکز کرد.
در PSO چند دسته‌ی همکار^[۶۸] که به وسیله CPSO-S_K نمایش داده می‌شود، هر ذره به K بخش مجزا با ابعاد کوچک‌تر تقسیم می‌شود. هر یک از این بخش‌ها به وسیله یک زیرگروه مجزا که می‌تواند از هر نوع PSO استفاده کند بهینه می‌شوند [۳۴].
یکی از مشکلات الگوریتم CPSO-S_K این است که چگونه کیفیت ذرات را در زیرگروه‌ها ارزیابی کنیم. کیفیت هر ذره در زیرگروه S_K را نمی‌توان به صورت مجزا از سایر زیرگروه‌ها محاسبه کرد یک ذره در یک زیرگروه خاص تنها بخشی از راه‌حل کامل n بُعدی را بیان می‌کند. برای حل این مشکل یک بردار زمینه راه‌حل کامل n بُعدی بیان شده را نگه می‌دارد. ساده‌ترین را برای تشکیل بردار زمینه زنجیر کردن بهترین موقعیت‌های سراسری از K زیرگروه است. برای محاسبه کیفیت ذرات در S_K زیرگروه، تمام مؤلفه‌های بردار زمینه ثابت نگه داشته می‌شوند به جز مؤلفه متناظر با زیرگروه S_K. ذراتی که در زیرگروه S_K هستند به مکان‌های متناظر بردار زمینه می‌روند و تابع اصلی کیفیت برای ارزیابی کیفیت بردار زمینه به کار می‌رود. مقدار کیفیت به دست آمده به عنوان کیفیت ذره متناظر در زیر گروه اختصاص می‌یابد.
اگر چه نشان داده شده که الگوریتم CPSO-S_K به مراتب بهتر از PSO معمولی کار می‌کند، باید به این نکته توجه داشت که کیفیت این روش هنگامی که مؤلفه‌های وابسته در زیر گروه‌های متفاوت قرار بگیرند تنزل می‌یابد. یک راه‌حل ممکن این است که پارامترهای وابسته تشخیص داده شوند و در یک جمعیت گروه بندی شوند.

۲-۶- سیستم‌های فازی

اگر بردار x یک بردار n-بُعدی در فضای حقیقی Rⁿ باشد و  مجموعه کلاسه‌ها و بردارهای  به عنوان نمونه‌های آموزش داده شوند به طوری که  ، آنگاه یک دسته‌بند عبارت است از هر نگاشتی که [۷۶] :
(۲-۲۷)
که به جای تخصیص نمونه ورودی به یک کلاس  ، D نمونه ورودی را با یک درجه عضویت به هر کلاس تخصیص می‌دهد. یعنی برای هر نمونه ورودی  ، D میزان عضویت x به هر کلاس را به صورت  بر می‌گرداند. که هر جزء  احتمال عضویت نمونه x در کلاس i را نشان می‌دهد، بنابراین با توجه به این تعاریف دسته‌بندها به دو نوع کلی تقسیم می‌شوند [۷۶]:
۱- دسته‌بندهای قطعی
۲- دسته‌بندهای فازی
همان طور که دیده می‌شود، دسته‌بندهای قطعی فقط مشخص می‌کنند که آیا یک نمونه عضو یک کلاس هست یا خیر و هیچ گونه اطلاعات بیشتری ارائه نمی‌دهند. به عنوان مثال در کاربردهای پزشکی، دسته‌بندهای قطعی مشخص نمی‌کنند که بیمار با چه درجه‌ای مریض می‌باشد. در حالی که دسته‌بندهای فازی این امکان را برای کاربر فراهم می‌کنند. علاوه بر این دسته‌بندهای فازی به کاربر اجازه می‌دهند که نظر افراد خبره را به صورت ترم‌های زبانی بیان کنند. در نتیجه دسته‌بندهای قانون‌مند فازی بالاترین سطح قابلیت تفسیر را فراهم می‌آورند [۷۷].
قوانین اگر-آنگاه فازی به صورت زیر نوشته می‌شوند: