(۵-۲-۲۳)
می­باشد که به ترتیب فضازمان­هایی مجانباً دوسیته، آنتی دوسیته و تخت را برای  ،  و  (فقط برای  ) پیش ­بینی می­ کند. با بهره گرفتن از رابطه­ (۵-۲-۲۳) ثابت کیهان­شناسی مؤثر برای فضازمان­های مجانباً دوسیته (با علامتِ +) و مجانباً آنتی دوسیته (با علامتِ -) به صورتِ

(۵-۲-۲۴)
به دست می ­آید. در غیاب تصحیحات گرانشی  این عبارت به  میل می­ کند. هم­چنین علامتِ ضریب لاولاک  در ثابتِ کیهان­شناسی مؤثر بدون تأثیر است.
برای بررسی تکینگی در انحنای فضازمان اسکالر کریشمان را برای متریک در حالت­های متفاوت بررسی می­کنیم. با محاسبه­ی اسکالر کریشمان، برای متریک بدست آمده، می­توان نوشت:
(۵-۲-۲۵)
و محاسبات نشان می­ دهند که اسکالر کریشمان در  بُعد برای همه حالت­ها در نزدیکی مبدأ، از لحاظِ شدت، دارای رفتاری متناسب با  می­باشد و بنابراین، با توجه به  ، همیشه در  یک تکینگی در انحنای فضازمان وجود خواهد داشت. از آن­جایی­که اُفق­های رویداد ریشه ­های  هستند (  را بزرگترین ریشه­ تابع متریک در نظر می­گیریم) می­توانیم پارامترِ مربوط جرم سیاه­چاله را برای کاربردهای بعدی بر حسبِ شعاعِ اُفق رویداد بیرونی  ، به صورت
(۵-۲-۲۵)
بنویسیم. به دلیل ایستا بودنِ متریک، یک بردار کیلینگ زمانی،  ، خواهیم داشت. بنابراین با بهره گرفتن از تعریف گرانش سطحی برای دمای اُفق رویدادِ بیرونی سیاه­چاله­ و انجام محاسبات، دمای اُفق رویداد سیاه­چاله­های معرفی شده برای دو فضازمانِ مورد بحث در کلی‌ترین حالتِ تقارنی به صورتِ
(۵-۲-۲۶)
به دست می ­آید. در رابطه­ دمای بالا،  و  به ترتیب اشاره دارند بر
(۵-۲-۲۷)

این قراردادها برای مختصرنویسی در سرتاسر این تحقیق برقرار هستند.
۵-۳ بررسی ترمودینامیک سیاه­چاله­های لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی
در این بخش به بررسی ترمودینامیک سیاه­چاله­های معرفی شده در ابعاد بالا می­پردازیم. ابتدا باید کمیت­های ترمودینامیکی پایا را بیابیم و سپس قانون اول ترمودینامیک را برای این سیستم سیاه­چاله­ای بررسی کنیم. از آن­جا که حل­های سیاه­چاله­ای یافتیم که توسط اُفق رویداد بیرونی پوشانده می­شوند و اُفق آخرین مرز اطلاعاتی ما از سیاه­چاله است مطابق با گفته­های فصل چهارم می­توانیم یک آنتروپی به اُفقِ بیرونی این سیاه­چاله نسبت دهیم. تاکنون مشخص شده است که سیاه­چاله­های مجانباً تخت (  ) در گرانش لاولاک از رابطه­ آنتروپی والد (۴-۳-۳) تبعیت می­ کنند. چون در چارچوب نظریه لاولاک مرتبه سوم کار می­کنیم، در این چارچوب نظری، آنتروپی والد به صورت زیر تبدیل می­ شود

که در آن  ،  و  به ترتیب تانسور ریمان، تانسور ریچی و اسکالر ریچی برای متریکِ القاییِ  روی اُفقِ  بُعدی هستند. از آن­جایی­که یکی از اهداف­مان در این پایان نامه نوشتن ترمودینامیک برای گرانش لاولاک با بهره گرفتن از تعریف آنتروپی والد می­باشد بنابراین جواب­های سیاه­چاله­ای را بدون حضور ثابت کیهان­شناسی در نظر می­گیریم. با انجام محاسبات برای متریک معرفی شده­ به رابطه­ زیر برای آنتروپی سیاه­چاله­های گرانش لاولاک مرتبه سوم، با ضرایبِ لاولاک مستقل، می­رسیم
(۵-۳-۱)
که در آن  حجم یک اَبَرسطح  بُعدی با خمشِ ثابتِ  است. با اعمال شرطِ وابستگی ضرایب لاولاک مطابق رابطه­ (۵-۲-۱۹)، و هم­چنین اِعمال شرط تقارن کروی  برای فضازمان (برای داشتن سیاه­چاله­هایی با تقارن کروی)، آنتروپی به صورت زیر کاهش می­یابد
(۵-۳-۲)
که در این حالت برای  ، که یک اَبرکُره  بُعدی واحد با خمشِ ثابتِ  است، داریم
(۵-۳-۳)
و مشاهده می­ شود در غیاب تصحیحات گرانش  ، قانون مساحت برای این آنتروپی، مانند گرانش اینشتین، برقرار می­گردد. این رابطه نشان می­دهد که کمیت فزونورِ آنتروپی تابعی مستقیم از مساحت اُفق سیاه­چاله می­باشد و بنابراین کمیتی صرفاً هندسی است و مستقل از نوعِ تانسور انرژی-تکانه­ یا ماده و میدان به کار رفته در فضازمان است. البته تأثیراتِ میدانِ الکترومغناطیسی غیرخطی یا هر نوع میدان و ماده­ دیگری در عبارت  وارد می­ شود که باعث تغییر اُفق رویداد بیرونی سیاه­چاله  و به تبع آن باعث تغییر در مساحت اُفق سیاه­چاله می­ شود.
کمیت ترمودینامیکی دیگر که باید محاسبه شود دما است و این کمیتِ نافزونورِ متناظر با آنتروپی است. با بهره گرفتن از رابطه­ کلی به دست آمده در بخش قبل برای دما (۵-۲-۲۶)، و با قرار دادن  و  در آن، برای دمای اُفق رویداد سیاه­چاله­های مجانباً تخت خواهیم داشت
(۵-۳-۴)
کمیت فزونور ترمودینامیکی دیگری که باید محاسبه شود بار الکتریکی سیاه­چاله است. یک راه مناسب برای محاسبه­ی بارِ سیاه­چاله­های ایستا در ابعاد بالا استفاده از تعمیمِ قانون گاؤس به ابعاد بالا به صورت  است که در آن  عنصر دیفرانسیلی اَبرسطحِ  است که انتگرال­گیری روی آن انجام می­گیرد. با بهره گرفتن از قانون گاؤس و محاسبه­ی شار میدان الکتریکی در  بار الکتریکی برای سیاه­چاله­های مربوط به دو فضازمان به صورتِ
(۵-۳-۴)
به دست می ­آید.
کمیت نافزونورِ متناظر با بارِ سیاه­چاله، پتانسیل الکتریکی است. با انجام محاسبات برای پتانسیل الکتریکی  روی اُفق سیاه­چاله­ها، مطابق رابطه­ (۴-۴-۳)، به رابطه­­های زیر برای دو کلاس می­رسیم
(۵-۳-۵)
در ادامه باید به محاسبه­ی جرم وابسته به سیاه­چاله بپردازیم. در این­جا چون
فضازمان دارای رفتار مجانبی تختی است برای محاسبه­ی جرم از تعریف جرمِ  با روش لایه­بندی فضازمان مطابق پیوست الف استفاده می­کنیم. محاسبات نشان می­ دهند که جرمِ  فضازمان برابر است با
(۵-۳-۶)
از این معادله­ مشخص است که جرم  از طریق پارامتر  مطابق رابطه­ (۵-۲-۲۵)، تحت تأثیر پارامترهای غیرخطی  و  می­باشد و بدین طریق تصحیحات غیرخطی گرانشی و میدان الکترومغناطیسی وارد جرم نسبت داده شده به سیاه­چاله می­شوند.
حال با در دست داشتن متغیرهای فزونور ترمودینامیکی  و کمیت­های نافزونور ترمودینامیکی وابسته به آن­ها  می­توانیم به بررسی قانون اول ترمودینامیک بپردازیم. حاصل­ضرب کمیت­های فزونور با کمیت­های نافزونور متناظر با آن­ها باید دارای ابعاد انرژی باشد. بنابراین درونِ معادله­ مربوط به قانون اول ترمودینامیک باید جملاتِ مربوط به برهم­کنش گرمایی  ، و برهم­کنش بی­دررو  ، وجود داشته باشند. بدین منظور ابتدا با بهره گرفتن از روابط آنتروپی (۵-۳-۲)، بار الکتریکی (۵-۳-۴)، جرمِ  (۵-۳-۶) و هم­چنین  می­توان جرم سیاه­چاله را بر حسب کمیت­های فزونور به صورت زیر به دست آورد
(۵-۳-۷)
در رابطه­ بالا  ریشه­ مثبت معادله­ (۵-۳-۲) است و بنابراین تابعی از  می­باشد. از آنجا که دما  و پتانسیل الکتریکی  کمیت­هایی نافزونور هستند، می­توان آن­ها را از مشتق­گیری یک متغیر ترمودینامیکی فزونور نسبت به متغیرِ ترمودینامیکی فزونورِ دیگری متناظر با  و  به دست آورد یعنی مطابق با تعریف ترمودینامیک استاندارد داریم:
(۵-۳-۸)
بنابراین با محاسبه­ی  ،  ،  و  و با بهره گرفتن از قاعده­ی زنجیره­ای در مشتق­ها مطابق زیر
(۵-۳-۹)
می­توانیم کمیت­های مورد نظر در رابطه­ (۵-۳-۸) را محاسبه نماییم. برای مثال این کمیت­ها برای کلاسِ  در  بُعد به صورتِ زیر می­باشند
(۵-۳-۱۰)

در ادامه با بهره گرفتن از آنالیز عددی نشان داده شده است که کمیت­های نافزونور محاسبه شده  و  در معادلات (۵-۳-۴) و (۵-۳-۵) در تمام ابعاد کاملاً منطبق بر روابطِ  و  به دست آمده از معادلات (۵-۳-۸) هستند. در نتیجه کمیت­های ترمودینامیکی محاسبه شده در (معادله پتانسیل و معادله دما) در قانون اول ترمودینامیک سیاه­چاله­ها به صورتِ
(۵-۳-۱۱)
صدق می­ کنند. بنابراین برای سیاه­چاله­های باردارِ مجانباً تختِ گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی (کلاس­های نمائی و لگاریتمی) می­توان یک مجموعه قوانین ترمودینامیک در ابعاد بالا نوشت.
۵-۴ طبیعتِ پایداری سیاه‌چاله‌ها در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ
در این بخش پایداری ترمودینامیکی سیاه‌چاله‌ها را در دو آنسامبل کاننی و کاننی بزرگ بررسی می­کنیم. پایداری یک سیستم ترمودینامیکی نسبت به تغییرات کوچک مختصه‌های ترمودینامیکی معمولاً توسط تحلیل رفتار آنتروپی  حولِ وضعیت تعادل انجام می‌گیرد. بیان مرسوم در ترمودینامیک استاندارد این است که آنتروپی برای یک ماده‌ی فیزیکی باید تابعی مقعرگونه (دارای تقعر) از متغیرهای فزونورش باشد. به طور موضعی این بدین معنی‌ست که دترمینان ماتریس هسیان باید دارای مقداری منفی باشد [۵۲,۵۷]. بنابراین پایداری موضعی ترمودینامیکی بیان می‌کند که آنتروپی  به عنوان تابعی از متغیرهای ترمودینامیکی فزونور  ، در یک همسایگی به اندازه کافی کوچک از یک نقطه در فضای فازِ ممکنِ  ها، شکلی افزایشی دارد. در بررسی‌های ما متغیرهای فزونور  و  هستند. وقتی که  یک تابع هموار از  هاست افزایشی بودن هم‌ارز با منفی بودن دترمینان ماتریس هسیان  است [۵۸]. لازمه‌ی شرطِ  معادل با شرطِ  است. این بدین معنی‌ست که پایداری یک سیستم ترمودینامیکی می‌تواند توسط تحلیل رفتار انرژی حول وضعیت تعادل انجام گیرد. به بیان استاندارد ترمودینامیک مرسوم انرژی  یک ماده‌ی فیزیکی باید تابعی محدب‌گونه (دارای تحدب) از متغیرهای فزونورش باشد.
با توجه به توضیحات داده شده در ادامه در دو آنسامبل کانونی و کانونی بزرگ، پایداری ترمودینامیکی دو رده جوابِ به دست آمده برای سیاه­چاله­های باردار مجانباً تختِ گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی را بررسی می­کنیم. از دیدگاه ریاضیات آنسامبل‌های متفاوت، روش‌های متفاوت محاسبه‌ی فیزیک یکسانی هستند بنابراین با کار کردن در هر دو آنسامبلِ کانونی و کانونی بزرگ، باید به نتایجِ یکسانی برای رفتار پایداری ترمودینامیکی جواب­ها برسیم. در این بین نتایجی به دست می ­آید که نشان می­دهد محاسبات در دو آنسامبلِ کانونی و کانونی بزرگ به نتایج یکسانی منجر نمی­ شود. این نشان می­دهد که نتایج به نوع آنسامبل انتخابی بستگی دارند.
۵-۴-۱ بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاه­چاله­های باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی
در آنسامبل کاننی بار پارامتری ثابت است و بنابراین ماتریس هسیان فقط دارای یک درایه به صورتِ  است. دترمینان ماتریس هسیان  ، به صورت زیر به ظرفیت گرمایی مربوط می‌شود
(۵-۴-۱)
از آن‌جایی‌که دما کمیتی مثبت است باید دترمینان هسیان نیز کمیتی مثبت باشد تا ظرفیت گرمایی مثبت به دست آید. بنابراین شرط  برای برقراری پایداری موضعی در آنسامبل کانونی لازم و کافی است. در نتیجه کافی‌ست که ظرفیت گرمایی را حساب کنیم: