فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده آماره باشد. با توجه به اینکه
را می­توان به صورت زیر نوشت:
بنابراین مقدار مشاهده شده آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد.

با توجه به اینکه توزیع آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد، تابعی ثابت و در نتیجه غیر نزولی نسبت به است.
در نتیجه p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۲-۴)
بنابراین براساس آزمون GV فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر p- مقدار رابطه (۳-۲-۴) کمتر از سطح معنی داری باشد. نکته مهم و قابل توجه در رابطه با آزمون GV این است که آماره پایا نیست.
برای روشن شدن موضوع فرض کنید بردارهای تصادفی به تبدیل شوند. در این صورت
و
در نتیجه
از طرفی
.
بنابراین است. همچنین با توجه به اینکه
می­باشد. در نتیجه آماره در مخرج پایا نیست و به همین دلیل آماره پایا نمی ­باشد.

۳-۳- آزمون بوت استراپ پارامتری ( Parametric Bootstrap Test )

در این بخش به معرفی سومین آزمون تقریبی برای فرض برابری بردارهای میانگین زمانیکه ماتریس­های کوواریانس مجهول هستند، می­پردازیم و در نهایت توزیع تقریبی آماره آزمون را زمانیکه دوجامعه داریم به دست می­آوریم.

۳-۳-۱- آزمون بوت استراپ پارامتری

آزمون بوت استراپ پارامتری که به اختصار با نماد PB نمایش می­دهیم، شامل نمونه گیری از مدل­های برآورد شده است. بدین صورت که نمونه ­ای از یک توزیع با پارامتر مجهول را در نظر می­گیریم و پارامتر مجهول مورد علاقه را با توجه به نمونه تصادفی برآورد و سپس آن برآورد را جایگزین پارامتر مجهول کرده و نمونه ­ای دیگر از مدل برآورد شده تولید می­کنیم. (Efron, 1993) از این گونه نمونه­ها برای تقریب زدن توزیع آماره آزمون تحت فرض استفاده می­ شود.
براساس مطالب گفته شده در فصل اول تحت فرض ، ها میانگین یکسان دارند. همچنین آماره معرفی شده در رابطه ( ۱-۳-۴ ) نسبت به پارامتر مکان پایا است زیرا در صورت تبدیل به داریم:
بنابراین و در نتیجه است. همچنین
در نتیجه
.
بنابراین بدون کم شدن از کلیت مسئله می­توان میانگین مشترک تحت فرض صفر را بردار صفر در نظر گرفت و توزیع آماره را تحت فرض صفر یافت.
در نتیجه براساس فصل اول توزیع و توزیع دارند.
با توجه به اینکه است و همچنین با بهره گرفتن از روش بوت استراپ پارامتری، توزیع و توزیع دارند به گونه ­ای که مقادیر مشاهده شده هستند.
بنابراین کمیت محوری بوت استراپ پارامتری به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۳-۱)
به گونه ­ای که
(۳-۳-۲)
و یا به صورت معادل
(۳-۳-۳)
برای مقدار مشاهده شده از آماره در رابطه ( ۱-۳-۴ )، p- مقدار بوت استراپ پارامتری به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۳-۴)
بنابراین براساس آزمون PB فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر p- مقدار فوق از سطح معنی داری کمتر باشد.

۳-۳-۲- تجزیه چولسکی ( Cholesky Factor )

اگر یک ماتریس متقارن و معین نامنفی باشد، آنگاه را می­توان به صورت تجزیه کرد به گونه ­ای که ماتریس ریشه یا ضریب ماتریس نامیده می­ شود. دو نوع تجزیه ماتریس عبارت است از:
تجزیه طیفی
تجزیه چولسکی
در این قسمت به معرفی تجزیه چولسکی می­پردازیم و در نهایت با ارائه یک مثال این قسمت را به اتمام می­رسانیم.
فرض کنید یک ماتریس متقارن حقیقی مقدار و معین مثبت باشد. با بهره گرفتن از الگوریتم زیر مؤلفه­ های ماتریس را به دست می­آوریم:
.
در این صورت با بهره گرفتن از الگوریتم فوق یک ماتریس پایین مثلثی منحصر به فرد به دست می­آوریم. ( Gentle, 1998 )
مثال ۳-۱: ماتریس را به صورت در نظر بگیرید. تجزیه چولسکی ماتریس به صورت زیر می­باشد:
بنابراین ماتریس به صورت زیر می­باشد:
.