سری‌های زمانی یکی از شاخه‌های آمار و احتمال است که در سایر رشته‌ها مانند اقتصاد، مهندسی ارتباطات، هواشناسی، مدیریت، بازاریابی و … کاربرد فراوانی دارد. دامنه کاربرد سری‌های زمانی روزبه‌روز گسترده‌تر می‌شود و نیاز دانش‌پژوهان در این زمینه افزون‌تر می‌گردد. تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی به طور نظری و عملی از زمان شروع کار اصلی جورج. ای. باکس و ام. جنکینس^* در سال ۱۹۷۰ (تحت عنوان تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی، پیش‌بینی و کنترل) به سرعت توسعه پیدا نموده است. به طور خلاصه می‌توان دو هدف برای تجزیه و تحلیل سری‌‌های زمانی برشمرد [۱]: ۱) کشف و شناسایی مدل مولد داده‌ها ۲) پیش‌بینی مقادیر آینده سری. در یک سری‌زمانی با بررسی رفتار گذشته سری مدل احتمالی که می‌تواند مولد داده‌ها باشد را شناسایی کرده و سپس با فرض این که داده‌ها در آینده نیز رفتاری مشابه خواهند داشت و از مدل برازش شده پیروی خواهند نمود، سعی می‌کنیم مقادیر آینده سری را پیش‌بینی کنیم.

۲-۲: سری‌های زمانی آشوبی^*
آشــوب^*: «آشــوب» در لغت به معنای هرج‌و‌مرج و بی­نظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی «کائــوس^*» برمی­گردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اویــد^*» می­باشد. به نظر او کائوس، بی­نظمی و ماده بی­شکل اولیه، دارای فضا و بُعد نامحدودی بوده، که فرض شده است قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است، سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نموده است [۸].
محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای‌فاز مجرد یا حالت‌فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با به کارگیری قوانین دینامیکی، مشخص می‌کند. یک سیستم دینامیکی می‌تواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستـم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه‌ ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگ‌های آن می­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهایت است [۳]. باید دانست که تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می­باشد: «‌آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیردوره‌ای^* در یک سیستم قطعی^* است که وابستگی حســاس به شــرایط اولیه^* را نشان می­دهد».
الف) منظور از رفتار طولانی مدت غیردوره‌ای در سیستم‌های دینامیکی آن است که مسیرهایی وجود دارند که وقتی زمان به بی­نهایت میل می­ کند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای دوره‌ای و یا مدارهای شبه‌دوره‌ای منتهی نمی­ شود.
ب) قطعی بودن گویای آن است که سیستم دارای پارامترها یا ورودی­های تصادفی^* نیست ولی رفتار بی‌نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می­ شود. این اصطلاح در مقابل اتفاقی بودن^* به کار می­رود که منظور از آن نامنظم، نامعین و غیرقابل پیش‌بینی بودن رفتار سیستم است.
ج) منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیکی این است که مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیکی آشوبناک با سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک است. در سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک، اختلاف کوچک اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه ­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می­ کند در حالی که در سیستم‌های دینامیکی آشوبناک، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندک، به طور نمایی افزایش می­یابد.
نظریه آشوب به سیستم‌هایی اشاره دارد که حاوی روابط غیرخطی، پیچیده و رفتار آشفته هستند. رفتار آشفته دو ویژگی مهم دارد به طوری که این‌گونه رفتار از یک دید غیرقابل پیش‌بینی ولی از دید دیگر دارای الگوی نهفته در درون خود است. طبق این نظریه، رویدادها در جهان چنان پیچیده و پویا هستند که به نظر بی‌نظم می‌رسند اما در حقیقت نظام آشوب‌گونه دارای نظم زیربنایی است که شناسایی این نظم زیربنایی و نهفته اگرچه غیرممکن نیست ولی مشکل است زیرا عوامل و پارامترهای متعددی در تعامل پویا و غیرقابل پیش‌بینی، رفتار پدیده‌ها را شکل داده و الگوی رفتاری آینده آن‌را به وجود مـی‌آورند [۲].
ویژگی‌های عمده این نظریه عبارت است از اثر‌پروانه‌ای^*، سازگاری پویا^*، خودمانائی و جذب‌کننده‌های عجیب^*:
اثر پروانه‌ای: ادوارد لورنز استاد هواشناسی دانشگاه ام‌آی‌تی^* در سال ۱۹۷۳ نتایج محاسبات دستگاه معادلات دیفرانسیل متشکل از سه معادله دیفرانسیل غیرخطی و معین مربوط به جابجایی حرارتی جو را منتشر و ملاحظه کرد که در محدوده معینی از عوامل معادلات، بدون دخالت عناصر تصادفی یا ورود اغتشاش خارجی، نوعی نوسانات نامنظم در پاسخ سیستم بروز داده می‌شود. وی در ادامه تحقیقات خود با شگفتی به این نتیجه رسید که یک تغییر جزیی در شرایط اولیه معادلات پیش‌بینی‌کننده وضع جوی، منجر به نوسانات در پاسخ سیستم و تغییرات شدید در نتایج حاصل از آن‌ ها می‌گردد. لـورنز این خاصیت را اثر پروانه‌ای نام نهاد. اثر پروانه‌ای در واقع بیانگر رد روابط خطی بین علت و معلول و تایید غیرخطی بودن روابط در پدیده‌ها و سیستم‌ها است. به این معنا که یک تغییر جزیی در شرایط اولیه می‌تواند به نتایج وسیع و پیش‌بینی نشده در خروجی‌های سیستم منجر گردد و این سنگ بنای تئوری آشوب است. در نظریه آشوب یا بی نظمی، اعتقاد بر آن است که در تمامی پدیده‌ها، نقاطی وجود دارند که تغییری اندک در آن‌ ها باعث تغییرات عظیم خواهد شد و در این رابطه سیستم‌های اقتصادی، سیاسی، اجتماعی و سازمانی، همچون سیستم‌های جوی از اثر‌پروانه‌ای برخوردارند و تحلیل‌گران باید با آگاهی از این نکته مهم به تحلیل و تنظیم مسائل مربوطه بپردازند [۹].
سازگاری پویا: در محیط در حال تغییر امروز، سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیط‌شان همچون موجودات زنده عمل می‌کنند و برای رسیدن به موفقیت همواره باید خلاق و نوآور باشند. اما هنگامی که سیستم به تعادل سازگار نزدیک می‌شود برای حفظ پویایی نیاز به تغییرات اساسی درونی دارد که این تغییرات بجای سازگاری و تطبیق با محیط، سازگاری پویا را موجب می‌شود که نتیجه آن دگرگونی روابط پایدار بین افراد، الگوهای رفتاری، الگوهای کار، نگرش‌ها و فرهنگ‌ها است. در چنین شرایطی است که تغییرات کوچک می‌تواند تغییرات عمده ای را در رفتار سیستم ایجاد کند و تحت این شرایط است که اثرپروانه ای در کنار سازگاری پویا، تبلور می‌یابد. دانشمندان معتقدند که آشفتگی، سازگاری‌ها و انطباق‌ها را در هم می‌شکند که این امر در ظهور نظم نوین گاهی بسیار ضروری است و باعث خلاقیت مستمر در سایه تخریب خلاق در سیستم می‌شود. مورگان خاصیت خودنظمی در سیستم‌ها را تابع چهار اصل می‌داند. نخست آنکه سیستم باید توان احساس و درک محیط خود و جذب اطلاعات از آن را دارا باشد. دوم آنکه، سیستم باید قادر به برقراری ارتباط بین این اطلاعات و عملیات خود باشد. سوم آنکه، سیستم باید قدرت آگاهی از انحرافات را داشته باشد و چهارم آنکه، توانایی اجرای عملیات اصلاحی برای رفع مشکلات را دارا باشد. هرگاه این چهار اصل برقرار شوند رابطه‌ای بین سیستم و محیط ایجادشده و سیستم خود نظم می‌گردد و در مقابل وقایع، نوعی هوشمندی از خود بروز می‌دهد [۹].
خودمانایی: در تئوری آشوب و معادلات آن نوعی شباهت بین اجزاء و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزء از سیستم دارای ویژگی‌های کل بوده و مشابه آن است. به این خاصیت هولوگرافی گفته می‌شود. اولین بار هولوگرافی در سال ۱۹۴۸ توسط دنیس گابور مطرح شد. مورگان در کتاب خود تحت عنوان «نگاره‌های سازمان» در استعاره سازمان به مثابه مغز ویژگی‌های هولوگرافی را به شرح زیر بیان می کند: جزء خاصیت کل را داشته و مانند آن عمل کند؛ سیستم توانایی یادگیری را دارد؛ سیستم دارای توانایی خودسازماندهی است؛ حتی اگر قسمت‌هایی از سیستم برداشته شود سیستم به راحتی می‌تواند به فعالیت خود ادامه دهد. به عنوان مثال در رابطه با خاصیت هولوگرافی می‌توان به آینه اشاره کرد. ویژگی و خاصیت آینه نمایش تصویر و بازتاب آن است. این خاصیت در تمام قسمت‌های آن وجود دارد به گونه‌ای که هر قطعه آن این خاصیت کل را می‌تواند از خود بروز دهد [۹].
جذب‌کننده‌های عجیب: مسیرهای زمانی کلیه سری‌های پویای پایدار (معمولی یا آشوبی) دارای حدی هستند که به آن تعادل یا جذب‌کننده^* گفته می‌شود. جذب‌کننده می‌تواند یک نقطه باشد و در مواردی جذب‌کننده‌ها ممکن است پیچیده‌تر از یک نقطه باشند. در سیستم‌های آشوبی جذب‌کننده‌ها بسیار پیچیده و عجیب هستند که می‌توان آن‌ ها را به این صورت تعریف کرد:
یک جذب‌کننده پیچیده یک مجموعه نقاط غیرقابل شمارش^[۱] است به طوری که کلیه مسیرهای زمانی مجاور به آن جذب خواهند شد. مسیرهای زمانی که در داخل مجموعه شروع شوند، می‌توانند غیرقابل تکرار باشند و یا به هر تعداد از قبل تعیین شده به طور اختیاری تکرار شوند [۱۰].
خلاصه اینکه آشوب‌گونه بودن رفتارها و حرکات پدیده‌های مختلف فیزیکی، انسانی، اجتماعی و سازمانی همه خبر از نظم غائی می‌دهند لذا می‌توان گفت که آشوب‌گونه بودن به معنای تصادفی بودن نیست بلکه بیانگر نظمی در درون بی‌نظمی‌هـا و قاعده‌ای در درون بی‌قاعدگی‌های ظاهری است [۳].
سری‌های زمانی آشوب‌گونه می‌تواند به عنوان زیرمجموعه‌ای از فرآیندهای غیرخطی که نتایج بسیار پیچیده و نامنظم ایجاد می‌کنند، در نظر گرفته شوند [۱۸]. سری‌های زمانی آشوبی، سیستم‌های قطعی هستند که درجه پیچیدگی بالایی را به ارث برده‌اند، اگرچه سری‌زمانی آشوب‌گونه ویژگی‌های سیستم‌های دینامیکی را به صورت تصادفی نشان می‌دهد، در فضای‌حالت جاسازی آن، رفتارهای قطعی را ارائه می‌دهد ]۱۷[.
۲-۳: تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی آشوب‌گونه
تحلیل سری‌های زمانی آشوب‌گونه^* سه فاز اصلی دارد: ۱) بررسی ویژگی‌های سیستم ۲) تشخیص پارامترهای فضای حالت^* برای جاسازی ۳) پیش‌بینی سری‌زمانی ]۱۹[. فاز یک بررسی می‌کند که آیا یک سری‌زمانی آشوب‌گونه است؟ همچنین این فاز ممکن است شامل تشخیص این باشد که: آیا سیستم قطعی است یا تصادفی؟ آیا خطی پویاست یا غیرخطی؟ و همچنین میزان استقلال سیستم و وسعت پیش‌بینی پذیری سیستم بررسی می‌شود. کلید تحلیل سری‌های زمانی آشوبی جاسازی فضای‌حالت است. جاسازی داده‌های یک سری‌زمانی در یک فضای چندبعدی جاسازی فضای‌حالت نام دارد.
در تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی، یک گام مهم تعیین ویژگی‌های داده‌ است. روش‌های زیادی برای فرق گذاشتن بین داده‌های تصادفی یا دوره‌ای از داده آشوبی استفاده شده است ]۱۷[. در ادامه چند روش معرفی شده است.
تبدیل فوریه^* : تبدیل فوریه می‌تواند برای شناسایی آشوب در یک سری‌زمانی استفاده شود، که برای رسم کردن طیف توان^* به جای طیف فرکانسی رایج است. طیف توان در فرکانس‌هایی که سیستم را برای داده‌ی دوره‌ای توصیف می‌کند ثابت است و برای بقیه تقریبا صفر خواهد بود. طیف توان با قله‌های عریض^*، وجود آشوب در سری‌های زمانی را اثبات می‌کند ]۳۵[.
توان لیاپانوف^*: یک ویژگی مهم سیستم‌های آشوب که تحت عنوان اثرپروانه‌ای تعریف شده است، حساسیت بالای سیستم نسبت به شرایط اولیه است. اگر حساسیت بالا نسبت به شرایط اولیه در یک سیستم تشخیص داده شود سیستم می‌تواند آشوب‌گونه در نظر گرفته شود ]۳۶[. توان لیاپانوف بزرگ روش کاربردی‌تری برای شناسایی رفتار آشوب‌گونه در یک سیستم است. توان لیاپانوف به طور کمّی واگرایی مسیر همسایگی را تعیین می‌کند. توان لیاپانوف مثبت، وجود آشوب در سیستم را اثبات می‌کند ]۳۵[.
بعد فراکتال^*: روش دیگر برای شناسایی وجود آشوب در یک سیستم، بُعد فراکتال است. بُعد فراکتال غیرصحیح نشان‌دهنده سیستم آشوب‌گونه است. بُعد وابسته یکی از رایج‌ترین بعد فراکتال مورد استفاده در پژوهش‌ها است ]۳۵[. اگر یک حوزه از شعاع R در یک نقطه خاص در فضای nֵبعدی متمرکز شده باشد، سپس میانگین نقاط در دایره، ©R مانع از این می‌شود که نقاط مرکزی بتوانند محاسبه شوند. یک نمودارC® در مقابل R باید یک تقریب خط مستقیم را بدهد که شیب d_c، بُعد وابسته است. شیب d_c با مقدار صحیح نشان‌دهنده این است که جذب‌کننده یک شیء هندسی ساده است. یک مقدار غیرصحیح برای d_c نشان‌دهنده جذب‌کننده غیرمتجانس بوده و سیستم آشوب‌گونه است ]۳۸,۳۵[.
توان هرست^*: هرست به جهت معرفی توان هرست به عنوان یک معیار برای قابلیت پیش‌بینی پذیری یک سری‌زمانی شهرت یافته است ]۳۷ [. توان هرست با بهره گرفتن از تحلیل R/S که می‌تواند بین ۰و ۱ تغییر کند، ایجاد شده است. توان هرست با مقدار ۵/۰ یک روند تصادفی را نشان می‌دهد و یک توان هرست بین ۵/۰ و ۱ حضور آشوب در سیستم را اثبات می‌کند.
جاسازی سری‌زمانی آشوب‌گونه در فضای‌حالت، کمک زیادی به شناسایی سیستم می‌کند. روش‌های زیادی برای جاسازی فضای‌حالت وجود دارد. درغیاب یک معادله حاکم برای سیستم، نقاط فضای‌فاز یا همان فضای‌حالت، از سری‌زمانی اصلی با بهره گرفتن از یک روش جاسازی^* تولید می‌شوند ]۲۰[. تاکنز^* در سال ۱۹۸۱ میلادی در یک مقاله مفصل و جامع ]۱۹و۲۱[، پایه‌های ریاضی برای کارکردن روی سری‌های زمانی آشوبی را بنیان نهاد. تئوری او پس از بحث‌های مفصل ریاضی و هندسی اثبات می‌کند که اگر سری‌زمانی از یک سیستم دینامیکی معین بدست آمده باشد، آنگاه جاسازی فضای‌حالت این سیستم، به کمک یک اسکالر m با نام بُعد جاسازی و یک اسکالر T با نام زمان تاخیر امکان پذیر می‌باشد. بنابراین تئوری تاکنز مطرح می‌کند که فضای‌حالت از یک سری‌زمانی شامل مشاهدات یک فرایند آشوبی، می‌تواند جاسازی شود.
به عبارت دیگر نظریه جاسازی بیان می‌کند که اگر یک بُعد مناسب برای سری‌زمانی آشوبی انتخاب شود، داده‌ها می‌توانند جاسازی شوند و داده آشکار شده می‌تواند اطلاعات پنهان سیستم را آشکار کند. یک سری‌زمانی می‌تواند در فضای چند بُعدی بوسیله رسم نقاط داده Y(t)، جاسازی ‌شود: که N طول سری‌زمانی اصلی، D بُعد جاسازی^* سری‌زمانی و T زمان تاخیر^* است ]۳۹[. روش جاسازی داده در یک فضای Dֵبُعدی، به عنوان جاسازی فضای‌حالت شناخته شده است.

پارامترهای فضای‌حالت: تاکنز در تئوری خود تنها امکان جاسازی فضای‌حالت را از روی سری‌های زمانی آشوبی، به وسیله دو پارامتر بُعدجاسازی m و زمان تاخیر T اثبات می‌کند ولی در مورد نحوه پیداکردن بُعدجاسازی و زمان تاخیر مناسب حرفی نمی‌زند [۱۱]. بعد از اثبات تئوری تاکنز، دیگر محققان، برای مثال ]۴۳-۴۰[ در صدد برآمدند تا با استناد بر تئوری، روش‌های متفاوتی را برای انتخاب مناسب این دو پارامتر آزمایش کنند. یکی از روش‌های مرسوم برای پیداکردن بُعد جاسازی بهینه سری‌های زمانی آشوبی، روش شمارش نزدیک‌ترین همسایه‌های کاذب^* می‌باشد [۴۳]. این نگرش براساس بررسی این خصوصیت پایه‌ای بنا شده است که در جاذب سیستم آشوب‌گونه مسیرهای حالت یکدیگر را قطع نمی‌کنند. برای انتخاب زمان تاخیر مناسب T، کمترین وابستگی بین عناصر نزدیک به هم در نقاط فضای‌حالت باید فراهم شود. بنابراین اولین کمترین تابع اطلاعات دوطرفه^* می‌تواند انتخاب شود ]۳۵[.
۲-۴: معادلات آشوبی
در ادامه به معرفی برخی معادلاتی که سری‌های زمانی آشوبی [۱۷] را تولید می‌کنند، می‌پردازیم.
معادله لورنز^* : یک مثال سیستم‌های آشوب، آب و هواست. کارهای لورنز به طور گسترده برای استقرار تئوری آشوب است ]۴۴.[ معادلات لورنز به صورت معادله (۲-۳) نوشته می‌شوند: