در معادلات فوق  نیروی محوری خارجی می­باشد و به علت فشاری بودن برابر  می­باشد که P همان نیروی کمانش می­باشد . بنابراین معادلات پایداری بصورت زیر بدست می­آیند.

(۳-۵۷)

(۳-۵۸)
۳-۵۹))
فصل چهارم
نتایج
۴-۱- مقدمه
در بسیاری از مسائل فیزیک که در اطراف ما اتفاق می­افتد، ریاضیات کاربرد بسیار وسیعی دارد، برای حل این مسائل، ریاضی­دانان و فیزیک دانان زیادی در این زمینه از قرن­ها پیش مشغول فعالیت بوده ­اند وموفق شده ­اند روش­هایی برای حل این مسائل کشف کنند. دلیل امر نیز شاید این باشد که حل بسیاری ازپدیده­های فیزیکی بوسیله معادلات دیفرانسیل تعیین می­شوند. از این رو در دو قرن اخیر راه حل­های تقریبی زیادی برای حل معادلات دیفرانسیل پیشنهاد شده است. در این رابطه حل دقیق اغلب معادلات دیفرانسیل حاکم بسیار مشکل و گاه غیر ممکن است. بسیاری از این روش­ها پیش از پیدایش روش­های اجزا محدود، حجم محدود، تفاضل محدود و باقیمانده وزنی بودند. بسیاری از معادلات پایداری در پوسته­ها به صورت تحلیلی قابل حل نمی باشند و برای حل آنها باید ازروش­های عددی و یا تخمینی استفاده نمود. تفاوت بین روش­های تحلیلی و تخمینی در بعضی از مواردبه طور کامل واضح نیست. منظور از روش تحلیلی روشی است که در آن معادلات دیفرانسیل حاکم بهصورت فرم بسته و دقیق قابل حل باشد.
۴-۲- تعریف روش دیفرانسیل مربعی
روش دیفرانسیل مربعی[۱۰-۱۴] به عنوان یک روش عددی موثرو ساده ودر عین حال دقیق جهت حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیر خطی از مقدار مسائل مرزی مطرح می شود و به غیر از این برای مسائل چندبعدی نیز قابل تعمیم می­باشد .روش مذکور برای اولین بار در سال ۱۹۷۱توسط آقای بلمن^[۴۹] ابداع و مورد استفاده قرار گرفت.مسائل مهندسی زیادی را می توان با این روش تحلیل نمود از جمله مسائل ناویر استوکس، ارتعاشات ورقهای نازک، ارتعاشات تیرها و… .
روش کلی مبتنی بر تقریب و تخمین مشتقات جزئی از یک تابع نسبت به یک متغیر در هر نقطه مجزا است،به طوری که جمع خطی مقادیر وزنی تابع در تمام نقاط مجزا در میدان وسیعی از متغیرها انتخاب می شود. برطبق این روش کلی می توان یک مساله دوبعدی یا متغیرهای اصلی را در یک میدان چهار گوش حل کرد. محاسبه توابع وزنی اولین ومهمترین گام در استفاده از این روش می باشد.به طور کلی “بلمن “دو روش جهت محاسبه توابع وزنی ارائه کرد. آقای بلمن ۱۹۷۲روابط زیر رابه دنبال مفهوم انتگرال کلاسیک مطرح کرد:
(۴-۱)

و همین طور:
(۴-۲)
که رابطه ۵-۱ برای مسائل یک بعدی و رابطه ۵-۲ برای مسائل دوبعدی کاربرد دارند. فعلاً مسائل یک بعدی را در نظر گرفته و بعدا برای حالت های دو بعدی تعمیم داده خواهدشد. در رابطه( ۵-۱)  مشتق مرتبه اول  )نسبت به x در است. به طور آشکار راهنمای روند در این تکنیک تعیین توابع وزنی  می­باشد. بلمن دو روش برای محاسبه این ضرایب ارائه کرد. اولین روش اینست که اجازه دهیم معادله (۵-۱) برای توابع معیار زیر صحیح باشد که به یک مجموعه از معادلات جبری خطی منجر می شود.
(۴-۳)
این سیستم معادله یک جواب یکتا داردزیرا ماتریس ضرایبش از نوع واندرموند است و هنگامی که Nبزرگ باشد ماتریس بدحالت شده و معکوس کردن آن دشوار است. دومین روش تفاوتش با روش اول فقط در نوع توابع وزنی (معیار ) است که در این روش توابع وزنی بصورت زیر تعریف می شوند:
(۴-۴)
که در رابطه بالا  چند جمله ای لژاندر^[۵۰]مرتبه N ام است.
با بهره گرفتن از توابع معبار بالا بلمن و همکارانش یک فرمول جبری ساده برای محاسبه  بدست آوردند اما به شرطی که مختصات نقاط شبکه بصورت ریشه ­های چندجمله­ای لوژاندر مرتبه Nام انتخاب شوند. البته برای رفع نواقص و محدودیت های فوق روش دیفرانسیل کوادراچر تعمیم یافته در سال ۱۹۹۱توسط شو برای تعیین ضرایب وزنی توسعه داده شد.
۴-۳–چند جمله ای تقریبی مرتبه بالا و بردار فضایی خطی
روش دیفرانسیل مربعیتعمیم یافته مبتنی بر تحلیل چندجمله­ای تقریبی مرتبه بالاست.واضح است که تابع یکنواخت و سلیس در یک محدوده می ­تواند توسط یک چند جمله­ای مرتبه بالابه طور دقیق برحسب قضیه چند جمله­ای وییراستراس تقریب زده شود.بدنبال این قضیه پیشنهادشد که حل یک معادله یک بعدی می تواندبه یک چندجمله­ای با مرتبه N-1)) تقریب زده شود.
(۴-۵)
نشان دادن اینکه چندجمله­ای از درجه پایین­تر از N-1یا برابر آن، یک بردار فضایی خطیNبعدی را تشکیل می­دهد ساده است. از مفهوم استقلال خطی پایه­ های یک بردار فضایی خطی مانند یک زیرمجموعه مستقل خطی و محدوده­های تمام فضا می ­تواند مطرح شود. در اینجا اگر  چند جمله­ای­های اصلی در  باشد،آنگاه  می ­تواند بوسیله عبارت زیر بیان شود.
(۴-۶)
به طور واضح اگر همه چند جمله­ایهای اصلی یک رابطه خطی مانند معادله (۱-۲) را ارضا کنند بنابرین  هم این کار را می­ کند.در بردار فضایی خطی ممکن است چند مجموعه از چند جمله­ایهای اصلی وجود داشته باشد. هر مجموعه از چند جمله­ای­های اصلی می ­تواند بطور یکتا توسط مجموعه دیگری از چندجمله­ای­های اصلی بیان شده باشد.دیده شد که اگر چند جمله­ای اصلی  بصورت  انتخاب شده باشد همان سیستم معادله (۳-۳) توسط اولین روش بلمن داده شده می ­تواند بدست آید.اگر چندجمله­ای اصلی  به همان فر
م معادله (۵-۳) گرفته شده باشد، همان رابطه توسط دومین روش بلمن داده شده می تواند بدست آید.
۴-۴- ضرایب وزنی از مشتق مرتبه اول
بطور کلی روش GDQچند جمله­ای اصلی  را بعنوان چند جمله­ای درونیاب لاگرانژ انتخاب میکند:
(۴-۷)
البته رابطه بالا را می­توان بسادگی رابطه زیر نوشت:
(۴-۸)
وقتی که:
و میدانیم که  همان مشتق اول  است.
مختصات نقاط شبکه هستند و ممکن است بطور دلخواه انتخاب شوند. برای سادگی می­توان نوشت:
(۴-۹)
وداریم : (۳-۱۰)
که در فرمول بالا دلتای کرونوکر است و بصورت زیر تعریف می شود:
(۴-۱۱)
بنابرین داریم که:
(۴-۱۲)
که  مشتق مرتبه mام  را نشان میدهند .از معادلات قبلی داریم :
(۴-۱۳)
(۴-۱۴)
طبق روابط قبلی:
(۴-۱۵)
(۴-۱۶)
با جایگذاری در روابط (۵-۱۳) داریم: