(۵۵-۲)
این فرمول بازگشتی محاسبه جملات دیگر سری (۵۴-۲) را امکان پذیر می­سازد، البته با مشتقگیری و انتگرالگیری ساده از جملات قبلی. اکنون تابع را به صورت زیر می­توان بیان نمود،
(۵۶-۲)
و انتگرال فاز کوانتمی به صورت زیر در می ­آید،
(۵۷-۲)
برای راحتی ، جمع بر روی و را می­توان طوری مرتب نمود که بخش اول شامل جملاتی باشد که و یک جایگشت را نشان دهند و بخش دوم تنها در یک جفت با هم تفاوت داشته باشند و . . . . پس از انجام این عمل، ساده سازی های معینی امکان­ پذیر می­ شود. هر کدام از جمله که در آنها شود، هنگامیکه بر روی ها انتگرالگیری شوند، نتایج یکسانی را در بر دارند، بنابراین در ها متقارن اند و نمی ­توانند در صورت وابسته بودن به مشکلی بوجود آورند. بنابراین برای جایگشت یکسان(مثل هم) تابع را با مقدارش می­توان جایگزین نمود. برای جملاتی که و در جایگشت دو ذره با هم تفاوت دارند ساده سازی های مشابهی را می­توان انجام داد، و فقط لازم است از دو تابع و استفاده نمود، البته بسته به دو جایگشت جفت های و بدون در نظر گرفتن اینکه کدام جفت از مختصات تکانه درگیر می­شوند. با این اوصاف انتگرال (۵۷-۲) را به صورت زیر می­توان نوشت:

(۵۸-۲)
و زمانی که از طریق معادله (۵۵-۲) در معادله (۵۸-۲) جایگزین شود و انتگرال­ها بر روی مختصات تکانه گرفته شود، نتیجه آن به صورت زیر در می ­آید:
(۵۹-۲)
سه جمله اول معادله سری جاهایی در که دارای جایگشت یکسان هستند نگه داشته شده ­اند، و در دو جمله اول ، بخشی که جایگشت­شان در دو ذره فرق دارد نیز حذف نشده است. نتیجه بخش اول با آنچه که ویگنر بدست آورده بود توافق دارد، و بخش دوم با آنچه که بلاخ و گراپر بدست آوردند یکسان است. از آنجایی که نوشتن تقریب های مراتب بالاتر طولانی اند از نوشتن آنها خود داری کردیم. اگرچه می­­توان آنها را توسط فرآیندهای مشتق­گیری و انتگرالگیری ساده و فرمول بازگشتی (۵۵٫۲) محاسبه نمود. در یک مسئله واقعی، با در نظر گرفتن یک پتانسیل معلوم شکل این معادلات بسیار ساده­تر در نظر گرفته می­ شود. در حالتی که برهمکنش بین ذرات ضعیف باشد، مانند برهمکنش بین مولکولهای گاز در فشار پائین مرتب سازی جملات در معادله (۵۷-۲) به اندازه آنها بستگی دارد. به علت عامل ، نسبت هر جمله به جمله قبل آن با مشخص می­ شود که مرتبه بزرگی ضریب دوم ویریال به ، کل حجم ظرف محدود کننده است. دیواره های ظرف را می­توان توسط سد پتانسیل بلندی نشان داد که موجب ازبین رفتن در فضای پیکربندی خارج ظرف می­ شود. در عمل صرفنظر کردن از اصلاحات کوچک معادل است با محدود کردن انتگرال ها در فضای داخل ظرف.

-۵-۲ معادله حالت برای مخلوط مایع افزایشی^[۳۶]

جواب انتگرال معادله (PY^[37]) برای مخلوط مایعات کروی سخت توسط لبویچ^[۳۸][۴۰] با بهره گرفتن از دو روش ویریال و تراکم­پذیری محاسبه شده است. کمی بعد، همین دانشمند [۴۱] بیانی را برای مقادیر تماسی توابع توزیع یا توابع همبستگی جفتی^[۳۹] ، برای ذرات در مخلوط و معادله حالت در زمینه SPT ارائه کرد. برای مایع خالص، معادله حالت بدست آمده از روش SPT با معادله­ای که از روش تراکم­پذیریPY بدست آمد مطابقت داشت.
چند سال بعد معادله حالت پیشرفته­تری تحت عنوان BMCSL، به طور مستقل توسط توماس بابلیک^[۴۰] [۴۲] و غلامعلی منصوری [۴۳] ارائه شد. این دانشمندان از معادله SPT شروع کرده و تبدیلات ابتکاری را معرفی کردند که، برای مایع خالص، این رهیافت معادله SPT را به معادلات کاراناهان-اشتارلینگ^[۴۱] [۴۴] بدل می­کرد. منصوری هم توسط ترکیب معادلات ویریال PY و تراکم­پذیری به همان معادله برای مخلوط دست یافت. و هنگامیکه این معادله برای مایع کروی سخت بکار برده شد، به معادله CS تبدیل شد.
شاید بعد از آن، علاقه به این نوع مخلوط ها کاهش یافته باشد، اما در سالهای اخیر میزان تحقیقات اختصاص یافته به این موضوع به طور قابل ملاحظه­ای افزایش یافته است. بخشی از تحقیقات اخیر به این قضیه اختصاص یافته است که آیا در سیستم به علت اختلاف زیاد در شعاع ذرات موجود جداشدن فازها یا ذرات اتفاق می­افتد یا نه، یا اینکه این افزایش به علت مطالعه حالت تعادل جامد-مایع می­باشد [۴۵-۴۷]. بقیه تلاشها بر روی راهی مطمئن جهت ارتقاء بیان معادله BMCSL برای مقادیر نقطه تماس توابع توزیع شعاعی متمرکز شده است [۴۹ و۴۸]. معادلات جدید حالت نیز برای مخلوط مایعات افزایشی کروی سخت ارائه شده ­اند.
علت ادامه این تمایلات در این سالها به شرایط توافق برای خصوصیات ترمودینامیکی از این نوع مخلوطها، مربوط است. منظور ما از شرایط توافق هم شامل بیانهای مجانبی خصوصیات ترمودینامیکی یا ارتباطات دقیق بین خصوصیات مختلف ترمودینامیکی می­باشد. بعضی از این شرایط به مقادیر نقطه تماس تابع توزیع [۴۱ و۵۰]، یا به مشتقات تابع توزیع نسبت به شعاع یکی از ذرات برمی­گردد [۵۱]. سایر شرایط مربوط به پتانسیل شیمیایی یا مشتقات آن نسبت به شعاع یکی از ذرات می­باشد [۵۲].
در این بخش روی شرایط توافق از نوع اول متمرکز می­شویم، یعنی آنهایی که مربوط به مقادیر نقطه تماس تابع توزیع شعاعی هستند.

۱-۵-۲ - شرایط توافق مربوط به مقادیر نقطه تماس تابع توزیع شعاعی برای یک مخلوط دوتایی کروی سخت

برای یک مخلوط مایع کروی سخت. نظریه ویریال را می­تون به صورت زیر بیان نمود:
(۶۰-۲)
که چگالی تعداد ذرات بر واحد حجم ، و کسر مولی ذرات و ، مقدار تماسی PCF^[42] می­باشد. برای ذرات و با شعاع های و شعاع افزایشی معادل با است. باید شرایط ویژه­ای را برآورده نماید، بعضی از این شروط جزئی اند اما برای استفاده های بعدی آنها را در نظر خواهیم گرفت. در اینجا مخلوط دوتایی با کسر پکیدگی زیر را بررسی می­کنیم:
۱) در مقدار ، یا به طور معادل ، مخلوط به یک مایع خالص با ذرات کروی از نوع ۱ تبدیل می­ شود، بنابراین این
(۶۱-۲)
به طوری که مقدار تماسی برای تابع توزیع یک مایع خالص کروی سخت با شعاع است.
۲) وضعیتی مشابه برای حالت ، یا به طور معادل ، می­باشد که:
(۶۲-۲)
۳) زمانی که شود ذرات کره­های یکسان و تمییز ناپذیراند، بنابراین
(۶۳-۲)
۴) همینطور
(۶۴-۲)
۵) و:
(۶۵-۲)
سه شرط دیگر برای حالت ، بوجود می­آیند. در این حالت، ما مخلوطی از ذرات (نوع ۱) وذرات نقطه­ای (نوع ۲) داریم. عامل تراکم پذیری برای این ذرات دقیقاً توسط رابطه زیر داده می­ شود[۵۳]:
(۶۶-۲)
که عامل تراکم پذیری برای مایع خالص از ذرات کروی سخت با کسر پکیدگی و که عامل تراکم پذیری برای ذرات نقطه­ای در یک مخلوط با کره­هایی از نوع ۱می­باشد و برای همین ذرات کسرپکیدگی معادل است با عبارت . برای این مخلوط، عامل تراکم پذیری از معادله (۶۰٫۲) برابر است با :
(۶۷-۲)
که برای آن را می­توان به فرم زیر نوشت:
(۶۸-۲)
از آنجاییکه است، می­ شود و عبارت بالا نتیجه می­ شود.
۶) با این نتایج، دو شرط توافق دیگر برای بدست می ­آید. که اولین شرط از رابطه (۶۶-۲) و (۶۸-۲) نتیجه می­ شود. لذا داریم:
(۶۹-۲)
۷) با جاگذاری معادله فوق در (۶۷-۲) و مقایسه با معادله (۶۶-۲) به سادگی معادله زیر را بدست می­آوریم: (۷۰-۲)
همان تعریف معادله (۶۱-۲) را دارد.
۸) شرط بعدی ارتباط نزدیکی با دو شرط اخیر دارد:
(۷۱-۲)
هرچند این شرط احتیاج به دلایل بیشتری دارد. معادله حالت برای ذره نقطه­ای در حجم بطور دقیق توسط رابطه :
(۷۲-۲)
توصیف می­ شود که،
(۷۳-۲)
که همان در معادله (۷۱-۲) می­باشد. می­توان گفت که مقدار تماس تابع توزیع برای ذرات نقطه­ای را با بیان نظریه ویریال برای مایع خالص بدست آورد: